Упр.1226 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

Пусть два последовательных натуральных числа будут равны n и n+1.
Тогда, (n+1)^3-n^3=n^3+3n^2+3n+1-n^3=3n^2+3n+1=3•(n^2+n)+1.
Если n – чётное, то значение выражения n^2+n чётное.
Если n – нечётное, то значение выражения n^2+n тоже будет чётным, так как сумма двух нечётных чисел будет чётной.
Так как значение выражения n^2+n делится на 2, то значение выражения 3•(n^2+n) кратно 6.
Соответственно, (n+1)^3-n^3 при делении на 6 даёт остаток 1.
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть два последовательных натуральных числа равны $$n$$ и $$n+1$$.

Тогда

$$ (n+1)^3-n^3=n^3+3n^2+3n+1-n^3=3n^2+3n+1=3(n^2+n)+1. $$

Рассмотрим выражение $$n^2+n=n(n+1)$$. Это произведение двух последовательных чисел, значит, одно из них чётное. Следовательно, $$n^2+n$$ делится на $$2$$.

Тогда $$3(n^2+n)$$ делится на $$6$$, а значит, число $$3(n^2+n)+1$$ при делении на $$6$$ даёт остаток $$1$$.

Следовательно, разность кубов двух последовательных натуральных чисел при делении на $$6$$ даёт остаток $$1$$.