Упр.1225 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что $$p^2-1$$ кратно 24, если $$p$$ — простое число, большее 3.
2. Путь от A до B идёт 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь — за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мотоциклиста в гору и под гору, если на ровном месте его скорость 18 км/ч.

Пусть $$x$$ км/ч — скорость мотоциклиста в гору, а $$y$$ км/ч — скорость под гору.

На ровном месте он ехал со скоростью $$18$$ км/ч, значит, $$12$$ км он проехал за

$$\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\text{ ч}=40\text{ мин}.$$

Тогда на участки в гору и под гору ушло:

$$67-40=27\text{ мин},$$

$$76-40=36\text{ мин}.$$

Составим систему:

$$\begin{cases} \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=27,\\ \frac{6}{x}+\frac{3}{y}=36. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$xy$$, второе — на $$xy$$:

$$\begin{cases} 3y+6x=27xy,\\ 6y+3x=36xy. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$2$$:

$$\begin{cases} 6y+12x=54xy,\\ 6y+3x=36xy. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$9x=18xy.$$

Так как $$x\neq 0$$, получаем:

$$1=2y,\qquad y=\frac12\text{ км/мин}=30\text{ км/ч}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{3}{x}+\frac{6}{30}=27,$$

$$\frac{3}{x}+\frac15=27,$$

$$\frac{3}{x}=27-\frac15=\frac{134}{5}.$$

Тогда

$$x=\frac{15}{134}\text{ км/мин}=12\text{ км/ч}.$$

Ответ: $$12$$ км/ч — в гору, $$30$$ км/ч — под гору.