Упр.1225 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

p^2-1=(p-1)(p+1)
Так как числа p,p+1,p-1 – это три последовательных числа, то какое-то из трёх чисел кратно 2, а какое-то из них кратно 3.
Если p – простое число, то числа p+1 и p-1 кратны 2 и 3.
Значит, их произведение кратно 6.
Так как p – простое число большее 3, то оно не чётное.
Значит, числа p+1 и p-1 кратны 2, а их произведение кратно 4.
Так как произведение (p+1)(p-1) кратно 6 и 4, значит p^2-1 кратно 24.
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Разложим выражение на множители:

$$p^2-1=(p-1)(p+1).$$

Так как $$p$$ — простое число, большее $$3$$, то оно нечётное. Значит, числа $$p-1$$ и $$p+1$$ — чётные, поэтому их произведение кратно $$4$$.

Кроме того, числа $$p-1$$, $$p$$, $$p+1$$ — три последовательных числа. Среди трёх последовательных чисел одно делится на $$3$$. Так как $$p$$ не делится на $$3$$, то на $$3$$ делится одно из чисел $$p-1$$ или $$p+1$$. Следовательно, произведение $$ (p-1)(p+1) $$ кратно $$3$$.

Итак, $$p^2-1=(p-1)(p+1)$$ кратно и $$4$$, и $$3$$. Так как $$4$$ и $$3$$ взаимно просты, то произведение кратно $$12$$. Но среди двух чётных чисел $$p-1$$ и $$p+1$$ одно делится на $$4$$, а другое — на $$2$$, значит их произведение кратно $$8$$. Следовательно, $$p^2-1$$ кратно $$24$$.

Что и требовалось доказать.