Упр.1224 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Разложите на множители многочлен:
а) $$x^8+x^4-2$$;
б) $$a^5-a^2-a-1$$;
в) $$n^4+4$$;
г) $$n^4+n^2+1$$. - Найдите все пары простых чисел, которые являются решениями уравнения $$x+y=26$$.
а) $$x^8+x^4-2=x^8+x^4-1-1=(x^8-1)+(x^4-1)$$
$$=(x^4-1)(x^4+1)+(x^2-1)(x^2+1)$$
$$=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)+(x-1)(x+1)(x^2+1)$$
$$=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)+(x-1)(x+1)(x^2+1)$$
$$=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1+1)$$
$$=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+2).$$
б) $$a^5-a^2-a-1=(a^5-a)-(a^2+1)$$
$$=a(a^4-1)-(a^2+1)=a(a^2-1)(a^2+1)-(a^2+1)$$
$$=(a^2+1)\bigl(a(a^2-1)-1\bigr)=(a^2+1)(a^3-a-1).$$
в) $$n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2$$
$$=(n^2+2-2n)(n^2+2+2n).$$
г) $$n^4+n^2+1=n^4+2n^2+1-n^2=(n^2+1)^2-n^2$$
$$=(n^2+1-n)(n^2+1+n).$$
Найдём пары простых чисел, для которых $$x+y=26.$$ Пусть $$y=26-x.$$ Проверяем простые числа, не превосходящие $$26$$:
$$3+23=26,\quad 7+19=26,\quad 13+13=26.$$
Других пар простых чисел нет.
Ответ: а) $$(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+2)$$; б) $$(a^2+1)(a^3-a-1)$$; в) $$(n^2+2-2n)(n^2+2+2n)$$; г) $$(n^2+1-n)(n^2+1+n)$$; пары простых чисел: $$(3,23),\ (7,19),\ (13,13).$$
