Упр.1223 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Если $$x\ne0$$ или $$y\ne0$$, то значение выражения $$15x^2-18xy+15y^2$$ положительно. Докажите это.
2. Найдите два натуральных числа, сумма которых равна $$168$$, а их наибольший общий делитель равен $$24$$.

Пусть искомые натуральные числа — $$a$$ и $$b$$. Тогда

$$a+b=168.$$

Так как $$\gcd(a,b)=24$$, то числа $$a$$ и $$b$$ кратны $$24$$. Значит,

$$a=24n,\quad b=24m,$$

где $$n$$ и $$m$$ — натуральные числа.

Подставим в условие суммы:

$$24n+24m=168$$

$$24(n+m)=168$$

$$n+m=7.$$

Натуральные пары чисел, сумма которых равна $$7$$:

$$1 \text{ и } 6,\quad 2 \text{ и } 5,\quad 3 \text{ и } 4.$$

Тогда получаем пары чисел:

$$a=24\cdot 1=24,\quad b=24\cdot 6=144,$$

$$a=24\cdot 2=48,\quad b=24\cdot 5=120,$$

$$a=24\cdot 3=72,\quad b=24\cdot 4=96.$$

Проверка: в каждой паре сумма равна $$168$$, а наибольший общий делитель равен $$24$$.

Ответ: $$24$$ и $$144$$; $$48$$ и $$120$$; $$72$$ и $$96$$.