Упр.1221 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

а) $$\begin{cases}x-y=-1,\\y-z=-1,\\z+x=8;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}x+y=-3,\\y+z=6,\\z+x=1;\end{cases}$$

в) $$\begin{cases}x-y+2z=1,\\x-y-z=-2,\\2x-y+z=-1.\end{cases}$$

1. а) Из первого уравнения выразим $$x$$:

   $$x-y=-1 \Rightarrow x=y-1.$$

   Подставим в третье уравнение:

   $$z+x=8 \Rightarrow z+y-1=8 \Rightarrow y+z=9.$$

   Теперь сложим уравнения $$y-z=-1$$ и $$y+z=9$$:

   $$2y=8 \Rightarrow y=4.$$

   Тогда

   $$x=4-1=3,\qquad z=9-4=5.$$

2. б) Сложим первое и второе уравнения:

   $$x+y=-3,$$

   $$y+z=6,$$

   получаем

   $$x+2y+z=3.$$

   Но удобнее выразить $$x$$ из первого уравнения:

   $$x=-3-y.$$

   Подставим во второе:

   $$y+z=6.$$

   Подставим $$x=-3-y$$ в третье уравнение:

   $$z+x=1 \Rightarrow z-3-y=1 \Rightarrow z-y=4.$$

   Решим систему

   $$\begin{cases} y+z=6,\\ z-y=4. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$2z=10 \Rightarrow z=5.$$

   Тогда

   $$y=6-5=1,\qquad x=-3-1=-4.$$

3. в) Выразим из первого уравнения $$x-y$$:

   $$x-y+2z=1 \Rightarrow x-y=1-2z.$$

   Подставим это во второе уравнение:

   $$x-y-z=-2 \Rightarrow 1-2z-z=-2,$$

   $$1-3z=-2 \Rightarrow -3z=-3 \Rightarrow z=1.$$

   Тогда

   $$x-y=1-2\cdot 1=-1.$$

   Подставим в третье уравнение:

   $$2x-y+z=-1 \Rightarrow 2x-y+1=-1,$$

   $$2x-y=-2.$$

   Решим систему

   $$\begin{cases} x-y=-1,\\ 2x-y=-2. \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$x=-1.$$

   Тогда

   $$-1-y=-1 \Rightarrow y=0.$$

Ответ

а) $$x=3,\ y=4,\ z=5$$; б) $$x=-4,\ y=1,\ z=5$$; в) $$x=-1,\ y=0,\ z=1$$.