Упр.1218 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.
2. При каких значениях $$a$$, $$b$$, $$c$$ и $$d$$ является тождеством равенство $$5x^3-32x^2+75x-71=a(x-2)^3+b(x-2)^2+c(x-2)+d$$?

Пусть искомое наименьшее натуральное число равно $$x$$.

Тогда после умножения на $$2$$ получаем квадрат натурального числа:

$$2x=a^2,$$

где $$a$$ — натуральное число. Значит, в разложении числа $$x$$ на простые множители должна быть хотя бы одна двойка.

После умножения на $$3$$ получаем куб натурального числа:

$$3x=b^3,$$

где $$b$$ — натуральное число. Тогда в разложении числа $$x$$ на простые множители число троек должно быть таким, чтобы после прибавления ещё одной тройки получилось кратно $$3$$.

Чтобы число $$x$$ было наименьшим, возьмём минимальные подходящие показатели степеней:

для двойки — $$3$$, для тройки — $$2$$.

Тогда

$$x=2^3\cdot 3^2=8\cdot 9=72.$$

Проверка:

$$2\cdot 72=144=12^2,$$

$$3\cdot 72=216=6^3.$$

Ответ: $$72$$.