Упр.1218 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1 способ
Пусть искомое наименьшее натуральное число будет x.
Тогда, 2x=a^2, где a – натуральное число.
Так как a^2 чётное число, а чётным может быть только квадрат чётного числа, то x кратно 2.
Путь 3x=b^3, где b натуральное число. Тогда, b^3 кратно 3.
Так как x кратно 2, то и b^3 кратно 2, т.е. 3x=(2•3•c)^3, где c – натуральное число.
Значит, 3x=(2•3•c)^3=2^3•3^3•c^3=8•27•c^3=216•c^3
x=72•c^3
Наименьшее натуральное x получим при c=1.
Значит, искомое число 72.
Ответ: искомое число 72.
2 способ
Если после умножения на 2 искомое число станет квадратом, значит в разложении на простые множители этого числа, количество двоек нечётно, а всех остальных равных членов произведения — чётное количество.
После умножения на 3 станет кубом. Значит, если к числу троек в разложении на простые множители в искомом числе прибавить ещё одно, то их количество должно делиться на 3. А все остальные равные члены произведения являются кубом какого-то числа. Поэтому, искомое число в разложении на простые множители должно содержать 2 и 3. Значит, минимальное количество двоек 3, а троек 2.
Искомое число: 2•2•2•3•3=8•9=72.

Пусть искомое наименьшее натуральное число равно $$x$$.

Тогда после умножения на 2 получаем квадрат натурального числа:

$$2x=a^2,$$

где $$a$$ — натуральное число. Значит, в разложении числа $$x$$ на простые множители должно быть нечётное число двоек.

После умножения на 3 число должно стать кубом натурального числа:

$$3x=b^3,$$

где $$b$$ — натуральное число. Значит, в разложении числа $$x$$ на простые множители должно быть такое количество троек, чтобы после прибавления одной тройки оно делилось на 3.

Для наименьшего числа достаточно взять минимальные показатели степеней:

$$x=2^3\cdot 3^2=8\cdot 9=72.$$

Проверим:

$$2\cdot 72=144=12^2,$$

$$3\cdot 72=216=6^3.$$

Следовательно, искомое число — $$72$$.

Ответ

72