Упр.1217 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции: а) $$y=|x|-3$$; б) $$y=4-|x|$$.
2. Найдите все простые числа $$p$$ и $$q$$, для которых $$p^2-2q^2=1$$.

Пусть $$p^2-2q^2=1,$$ где $$p$$ и $$q$$ — простые числа.

Перепишем уравнение:

$$2q^2=p^2-1=(p-1)(p+1).$$

Если $$p$$ — чётное простое число, то $$p=2$$. Тогда

$$2q^2=2^2-1=3,$$

что невозможно.

Значит, $$p$$ — нечётное простое число. Тогда $$p-1$$ и $$p+1$$ — два чётных числа, а их произведение равно $$2q^2$$.

Так как $$q$$ — простое число, то $$q^2$$ тоже нечётно при нечётном $$q$$, а правая часть $$2q^2$$ делится на $$2$$. Следовательно, $$q$$ не может быть нечётным простым числом, значит, $$q=2$$.

Подставим:

$$p^2-2\cdot 2^2=1,$$

$$p^2-8=1,$$

$$p^2=9,$$

$$p=3.$$

Проверка:

$$3^2-2\cdot 2^2=9-8=1.$$

Ответ: $$p=3,\ q=2.$$