Упр.1216 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Постройте график уравнения: а) $$y+|y|=x$$; б) $$y=x|y|$$.
2. Докажите, что если $$y$$ есть среднее арифметическое $$x$$ и $$z$$, то $$x^4+2x^3z-2xz^3-z^4-4x^2y^2+4y^2z^2=0$$.

а) Рассмотрим уравнение $$y+|y|=x.$$

Если $$y \ge 0,$$ то $$|y|=y,$$ значит

$$y+y=x,$$

$$2y=x,$$

$$y=\frac{x}{2}.$$

При этом должно быть $$y \ge 0,$$ то есть $$x \ge 0.$$

Если $$y<0,$$ то $$|y|=-y,$$ значит

$$y-y=x,$$

$$x=0.$$

Но при $$x=0$$ из уравнения получаем $$y+|y|=0,$$ что возможно только при $$y<0$$? Проверим: при $$y<0$$ левая часть равна $$0,$$ значит подходят все $$y<0.$$ Однако тогда $$x=0.$$

Итак, график состоит из двух частей:

• луча $$y=\frac{x}{2}$$ при $$x\ge 0$$;
• полупрямой $$x=0$$ при $$y<0$$.

б) Рассмотрим уравнение $$y=x|y|.$$

Если $$y>0,$$ то $$|y|=y,$$ и

$$y=xy,$$

$$y(x-1)=0.$$

Так как $$y>0,$$ то $$y\ne 0,$$ значит $$x=1.$$

Если $$y<0,$$ то $$|y|=-y,$$ и

$$y=-xy,$$

$$y(x+1)=0.$$

Так как $$y<0,$$ то $$y\ne 0,$$ значит $$x=-1.$$

Если $$y=0,$$ то уравнение выполняется при любом $$x.$$

Следовательно, график состоит из:

• прямой $$x=1$$ при $$y>0$$;
• прямой $$x=-1$$ при $$y<0$$;
• оси $$Ox$$, то есть $$y=0,$$ при любом $$x.$$

Ответ

а) $$y=\frac{x}{2}$$ при $$x\ge 0$$ и $$x=0$$ при $$y<0$$.

б) $$x=1$$ при $$y>0,$$ $$x=-1$$ при $$y<0,$$ и $$y=0$$ при любом $$x.$$