Упр.1211 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что остаток от деления простого числа на $$30$$ есть простое число или единица.
- Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Пусть пять последовательных натуральных чисел равны $$n-2,\; n-1,\; n,\; n+1,\; n+2,$$ где $$n \ge 3.$$
Тогда их сумма квадратов равна
$$(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$$
$$= n^2-4n+4+n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4$$
$$= 5n^2+10=5(n^2+2).$$
Предположим, что это число является квадратом натурального числа. Тогда оно должно делиться на $$5$$, значит и квадрат этого числа делится на $$5$$. Следовательно, само число тоже делится на $$5$$.
Но тогда из равенства $$5(n^2+2)=k^2$$ следует, что $$n^2+2$$ тоже должно быть квадратом натурального числа. При этом квадрат натурального числа по модулю $$5$$ может давать только остатки $$0,1,4$$, а число $$n^2+2$$ при любом $$n$$ даёт остаток $$2$$ или $$3$$ по модулю $$5$$:
если $$n^2 \equiv 0,1,4 \pmod 5,$$ то
$$n^2+2 \equiv 2,3,1 \pmod 5,$$
и это не может быть квадратом натурального числа одновременно с условием делимости на $$5$$.
Значит, сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Ответ
Не может.
