Упр.1211 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Пусть простое число будет a, частное от деления числа a на 30 будет b, а остаток c.
Тогда, a=30b+c, где c < 30. a=30b+c=2•3•5•b+c Остаток c не может быть чётным числом, так как в таком случае a будет чётным, а значит составным числом, что противоречит условию. Если c кратно 3, то c=3n. Тогда, a=30b+3n=3•(10b+n). Так как a получается составное число, то остаток не может быть кратным 3. Если c кратно 5, то c=5n. Тогда, a=30b+5n=5•(6b+n). Так как a получается составное число, то остаток не может быть кратным 3. Тогда, c=1,7,11,13,17,19,23,29. Таким образом, остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или 1.

Пусть простое число равно $$a$$, частное от деления числа $$a$$ на $$30$$ равно $$b$$, а остаток — $$c$$. Тогда

$$a=30b+c,\qquad c<30.$$

Так как $$30=2\cdot 3\cdot 5$$, то

$$a=2\cdot 3\cdot 5\cdot b+c.$$

Остаток $$c$$ не может быть чётным числом, иначе число $$a$$ было бы чётным, а значит, составным.

Если $$c$$ кратно $$3$$, то $$c=3n$$. Тогда

$$a=30b+3n=3(10b+n),$$

то есть $$a$$ делится на $$3$$ и является составным. Значит, $$c$$ не кратно $$3$$.

Если $$c$$ кратно $$5$$, то $$c=5n$$. Тогда

$$a=30b+5n=5(6b+n),$$

то есть $$a$$ делится на $$5$$ и является составным. Значит, $$c$$ не кратно $$5$$.

Следовательно, остаток $$c$$ не делится на $$2$$, $$3$$ и $$5$$. При $$c<30$$ это возможно только для чисел

$$c=1,7,11,13,17,19,23,29.$$

Все эти числа, кроме $$1$$, — простые.

Ответ

Остаток от деления простого числа на $$30$$ может быть только $$1$$ или простым числом: $$7,11,13,17,19,23,29$$.