Упр.1210 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Делится ли число $$111\ldots1$$ на $$81$$?
2. Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на $$6$$ даёт остаток $$1$$.

Пусть два последовательных натуральных числа равны $$n$$ и $$n+1$$.

Тогда

$$(n+1)^3-n^3=n^3+3n^2+3n+1-n^3=3n^2+3n+1=3(n^2+n)+1.$$

Рассмотрим выражение $$n^2+n=n(n+1)$$. Это произведение двух последовательных чисел, значит, одно из них чётное. Следовательно, $$n^2+n$$ делится на $$2$$.

Тогда $$3(n^2+n)$$ делится на $$6$$, а значит, число $$3(n^2+n)+1$$ при делении на $$6$$ даёт остаток $$1$$.

Следовательно, разность кубов двух последовательных натуральных чисел при делении на $$6$$ даёт остаток $$1$$.

Ответ

Остаток $$1$$.