Упр.1209 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Какое двузначное число в 4 раза больше суммы его цифр?
2. Докажите, что $$p^2-1$$ кратно 24, если $$p$$ — простое число, большее 3.

Пусть искомое двузначное число равно $$10a+b,$$ где $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц.

По условию:

$$10a+b=4(a+b).$$

Решим уравнение:

$$10a+b=4a+4b$$

$$10a-4a=4b-b$$

$$6a=3b$$

$$2a=b.$$

Так как число двузначное, то $$1\le a\le 9$$, а цифра $$b$$ должна быть от $$0$$ до $$9$$.

Проверим возможные значения $$a$$:

• при $$a=1$$ получаем $$b=2$$, число $$12$$;
• при $$a=2$$ получаем $$b=4$$, число $$24$$;
• при $$a=3$$ получаем $$b=6$$, число $$36$$;
• при $$a=4$$ получаем $$b=8$$, число $$48$$;
• при $$a\ge 5$$ получаем $$b\ge 10$$, что невозможно для цифры.

Ответ: $$12,\ 24,\ 36,\ 48.$$