Упр.1208 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Число $$a$$ составляет 75% числа $$b$$ и 40% числа $$c$$. Число $$c$$ на 42 больше числа $$b$$. Найдите числа $$a$$ и $$b$$.
2. Разложите на множители многочлен:
   а) $$x^8+x^4-2$$;
   б) $$a^5-a^2-a-1$$;
   в) $$n^4+4$$;
   г) $$n^4+n^2+1$$.

а) $$x^8+x^4-2=x^8+x^4-1-1=(x^8-1)+(x^4-1)$$

$$=(x^4-1)(x^4+1)+(x^2-1)(x^2+1)$$

$$=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)+(x-1)(x+1)(x^2+1)$$

$$=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)+(x-1)(x+1)(x^2+1)$$

$$=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1+1)$$

$$=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+2).$$

б) $$a^5-a^2-a-1=(a^5-a)-(a^2+1)=a(a^4-1)-(a^2+1)$$

$$=a(a^2-1)(a^2+1)-(a^2+1)=(a^2+1)\bigl(a(a^2-1)-1\bigr)$$

$$=(a^2+1)(a^3-a-1).$$

в) $$n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2$$

$$=(n^2+2-2n)(n^2+2+2n).$$

г) $$n^4+n^2+1=n^4+2n^2+1-n^2=(n^2+1)^2-n^2$$

$$=(n^2+1-n)(n^2+1+n).$$

Ответ: а) $$\,(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+2)\,;$$ б) $$\,(a^2+1)(a^3-a-1)\,;$$ в) $$\,(n^2+2-2n)(n^2+2+2n)\,;$$ г) $$\,(n^2+1-n)(n^2+1+n).$$