Упр.1206 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что сумма $$1^3+2^3+\ldots+99^3$$ делится на $$100$$.
2. Представьте выражение $$2x^2+2y^2$$ в виде суммы двух квадратов.

$$1^3+2^3+\dots+99^3=(1^3+99^3)+(2^3+98^3)+\dots+(49^3+51^3)+50^3.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Тогда

$$\begin{aligned} (1^3+99^3)&=(1+99)(1^2-1\cdot 99+99^2)=100(1^2-1\cdot 99+99^2),\\ (2^3+98^3)&=(2+98)(2^2-2\cdot 98+98^2)=100(2^2-2\cdot 98+98^2),\\ &\ \vdots \\ (49^3+51^3)&=(49+51)(49^2-49\cdot 51+51^2)=100(49^2-49\cdot 51+51^2). \end{aligned}$$

Кроме того,

$$50^3=125000=100\cdot 1250.$$

Значит, вся сумма имеет вид

$$1^3+2^3+\dots+99^3 =100\bigl(1^2-1\cdot 99+99^2+\dots+49^2-49\cdot 51+51^2+1250\bigr).$$

Следовательно, сумма делится на $$100$$.

Ответ

$$1^3+2^3+\dots+99^3 \text{ делится на } 100.$$