Упр.1206 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение: Докажите, что сумма 1^3 + 2^3 + … + 99^3 делится на 100.

Сгруппируем слагаемые попарно:

$$ 1^3+2^3+\dots+99^3=(1^3+99^3)+(2^3+98^3)+\dots+(49^3+51^3)+50^3. $$

Для каждой пары используем формулу суммы кубов:

$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). $$

Тогда

$$ (1^3+99^3)=(1+99)(1^2-1\cdot 99+99^2)=100(1^2-1\cdot 99+99^2), $$
$$ (2^3+98^3)=(2+98)(2^2-2\cdot 98+98^2)=100(2^2-2\cdot 98+98^2), $$
$$ \dots $$
$$ (49^3+51^3)=(49+51)(49^2-49\cdot 51+51^2)=100(49^2-49\cdot 51+51^2). $$

Кроме того,

$$ 50^3=125000, $$
а это число тоже делится на $100$.

Значит, вся сумма представляется в виде произведения числа $100$ на целое число:

$$ 1^3+2^3+\dots+99^3=100\cdot k, $$
где $k$ — целое число.

Следовательно, сумма делится на $100$.

Ответ

$$1^3+2^3+\dots+99^3$$ делится на $$100$$.