Упр.1202 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая — с пятой и третья — с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.
2. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.

Пусть шестизначное число имеет вид $$abcabc,$$ где $$a$$ — первая цифра, $$b$$ — вторая, $$c$$ — третья, причём $$a\neq 0$$.

Тогда

$$abcabc=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$abcabc=100100a+10010b+1001c=1001(100a+10b+c).$$

Так как $$1001=7\cdot 11\cdot 13,$$ то

$$abcabc=7\cdot 11\cdot 13\cdot (100a+10b+c).$$

Следовательно, данное число делится на $$7,$$ $$11$$ и $$13,$$ то есть кратно каждому из этих чисел.

Ответ: число $$abcabc$$ кратно $$7,$$ $$11$$ и $$13.$$