Упр.1190 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Проходят ли прямые $$2x+3y=20$$, $$3x-5y=11$$ и $$x+y=9$$ через одну и ту же точку?
2. Докажите, что сумма $$1^3+2^3+\ldots+99^3$$ делится на $$100$$.

Сгруппируем слагаемые попарно:

$$1^3+2^3+\dots+99^3=(1^3+99^3)+(2^3+98^3)+\dots+(49^3+51^3)+50^3.$$

Для каждой пары вынесем общий множитель:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Тогда

$$(1^3+99^3)=(1+99)(1^2-1\cdot 99+99^2)=100(1^2-1\cdot 99+99^2),$$

$$(2^3+98^3)=(2+98)(2^2-2\cdot 98+98^2)=100(2^2-2\cdot 98+98^2),$$

и вообще

$$(k^3+(100-k)^3)=100\bigl(k^2-k(100-k)+(100-k)^2\bigr).$$

Кроме того,

$$50^3=125000=100\cdot 1250.$$

Значит, вся сумма имеет вид

$$1^3+2^3+\dots+99^3=100\cdot N,$$

где $$N$$ — целое число. Следовательно, сумма делится на $$100$$.

Ответ

$$1^3+2^3+\dots+99^3$$ делится на $$100$$.