Упр.1186 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}\frac{x}{5}=1-\frac{y}{15},\\2x-5y=0;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}3m+5n=1,\\\frac{m}{4}+\frac{3n}{5}=1;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}4x-3y=1,\\\frac{2x+1}{6}=\frac{9-5y}{8};\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}3q=4p-7,\\\frac{1-3q}{4}=\frac{4-2p}{3}.\end{cases}$$
- В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая — с пятой и третья — с шестой. Докажите, что это число кратно $$7$$, $$11$$, $$13$$.
а) Из первого уравнения получаем:
$$\frac{x}{5}=1-\frac{y}{15}$$
$$15\cdot \frac{x}{5}=15\left(1-\frac{y}{15}\right)$$
$$3x+y=15.$$
Тогда система принимает вид:
$$\begin{cases} 3x+y=15,\\ 2x-5y=0. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$5$$, а второе оставим без изменений:
$$\begin{cases} 15x+5y=75,\\ 2x-5y=0. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$17x=75,$$
$$x=\frac{75}{17}=4\frac{7}{17}.$$
Подставим в $$2x-5y=0$$:
$$2\cdot \frac{75}{17}-5y=0,$$
$$\frac{150}{17}=5y,$$
$$y=\frac{150}{17}\cdot \frac{1}{5}=\frac{30}{17}=1\frac{13}{17}.$$
Ответ: $$x=4\frac{7}{17},\ y=1\frac{13}{17}.$$
б) Дана система:
$$\begin{cases} 3m+5n=1,\\ \frac{m}{4}+\frac{3n}{5}=1. \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $$20$$:
$$5m+12n=20.$$
Получаем:
$$\begin{cases} 3m+5n=1,\\ 5m+12n=20. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$5$$, второе — на $$3$$:
$$\begin{cases} 15m+25n=5,\\ 15m+36n=60. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$11n=55,$$
$$n=5.$$
Подставим в $$3m+5n=1$$:
$$3m+25=1,$$
$$3m=-24,$$
$$m=-8.$$
Ответ: $$m=-8,\ n=5.$$
в) Дана система:
$$\begin{cases} 4x-3y=1,\\ \frac{2x+1}{6}=\frac{9-5y}{8}. \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $$24$$:
$$4(2x+1)=3(9-5y).$$
Раскроем скобки:
$$8x+4=27-15y,$$
$$8x+15y=23.$$
Теперь решаем систему:
$$\begin{cases} 4x-3y=1,\\ 8x+15y=23. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$8x-6y=2.$$
Вычтем это уравнение из второго:
$$21y=21,$$
$$y=1.$$
Подставим в $$4x-3y=1$$:
$$4x-3=1,$$
$$4x=4,$$
$$x=1.$$
Ответ: $$x=1,\ y=1.$$
г) Дана система:
$$\begin{cases} 3q=4p-7,\\ \frac{1-3q}{4}=\frac{4-2p}{3}. \end{cases}$$
Первое уравнение перепишем так:
$$3q-4p=-7.$$
Второе уравнение умножим на $$12$$:
$$3(1-3q)=4(4-2p).$$
Раскроем скобки:
$$3-9q=16-8p,$$
$$9q-8p=-13.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases} 3q-4p=-7,\\ 9q-8p=-13. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$6q-8p=-14.$$
Вычтем его из второго:
$$3q=1,$$
$$q=\frac{1}{3}.$$
Подставим в $$3q=4p-7$$:
$$1=4p-7,$$
$$4p=8,$$
$$p=2.$$
Ответ: $$p=2,\ q=\frac{1}{3}.$$
Пусть шестизначное число имеет вид $$abcabc.$$ Тогда
$$abcabc=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c.$$
Сгруппируем слагаемые:
$$abcabc=100100a+10010b+1001c.$$
Вынесем общий множитель:
$$abcabc=1001(100a+10b+c).$$
Так как $$1001=7\cdot 11\cdot 13,$$ то число $$abcabc$$ делится на $$7$$, на $$11$$ и на $$13$$.
Что и требовалось доказать.
