Упр.1158 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Найдите все пары простых чисел, которые являются решениями уравнения $$a+b=42$$.
2. Докажите, что прямые $$x+y=5$$, $$2x-y=16$$ и $$x+2y=3$$ пересекаются в одной точке. Каковы координаты этой точки?

Проверим, какие простые числа могут входить в сумму $$a+b=42.$$

Так как сумма чётная, то оба простых числа должны быть нечётными, кроме случая с числом $$2$$. Но если одно из чисел равно $$2$$, то второе равно $$40$$, а это не простое число. Значит, оба числа — нечётные простые.

Переберём пары простых чисел, дающих сумму $$42$$:

$$5+37=42$$
$$11+31=42$$
$$13+29=42$$
$$19+23=42$$

С учётом порядка чисел получаем все пары решений:

$$\left(5;37\right),\ \left(37;5\right),\ \left(11;31\right),\ \left(31;11\right),\ \left(13;29\right),\ \left(29;13\right),\ \left(19;23\right),\ \left(23;19\right).$$

Ответ: $$\left(5;37\right),\ \left(37;5\right),\ \left(11;31\right),\ \left(31;11\right),\ \left(13;29\right),\ \left(29;13\right),\ \left(19;23\right),\ \left(23;19\right).$$