Упр.1141 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество $$\left(x^3-y^3\right)^2+2x^3y^3=\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4-x^2y^2\right)$$.
2. Найдите все пары натуральных чисел, которые являются решением уравнения:
   а) $$x+y=11$$;
   б) $$xy=18$$.

Преобразуем левую часть тождества:

$$(x^3-y^3)^2+2x^3y^3=x^6-2x^3y^3+y^6+2x^3y^3=x^6+y^6.$$

Преобразуем правую часть:

$$(x^2+y^2)(x^4+y^4-x^2y^2)=x^6+x^2y^4+x^4y^2+y^6-x^4y^2-x^2y^4=x^6+y^6.$$

Следовательно,

$$(x^3-y^3)^2+2x^3y^3=(x^2+y^2)(x^4+y^4-x^2y^2).$$

Тождество доказано.

Ответ

$$(x^3-y^3)^2+2x^3y^3=(x^2+y^2)(x^4+y^4-x^2y^2).$$