Упр.1139 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

Задача-исследование. На сколько надо уменьшить число $$100$$, чтобы при делении полученной разности как на $$5$$, так и на $$7$$ остаток был равен $$1$$ и при этом первое частное было на $$2$$ больше второго?

1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.

2) Составьте систему уравнений и решите её.

3) Проверьте правильность полученного ответа.
Докажите, что если в уравнении $$ax+by=81$$ коэффициенты $$a$$ и $$b$$ — целые числа, то пара чисел $$(15; 40)$$ не может быть решением этого уравнения.

Подробный ответ

Пусть $$x$$ — первое частное, а $$y$$ — второе частное.

Тогда по условию задачи:

$$x=y+2$$

При делении искомого числа на $$5$$ получаем частное $$x$$ и остаток $$1$$, значит это число равно $$5x+1$$. При делении на $$7$$ получаем частное $$y$$ и остаток $$1$$, значит это число равно $$7y+1$$.

Составим систему:

$$\begin{cases} 5x+1=7y+1,\\ x=y+2. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$5x=7y$$

Подставим $$x=y+2$$:

$$5(y+2)=7y$$

$$5y+10=7y$$

$$2y=10$$

$$y=5$$

Тогда

$$x=y+2=7$$

Искомое число: