Упр.1110 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}-5=0,\\2x-y=10;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}2x-7y=4,\\\frac{x}{6}-\frac{y}{6}=0;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}\frac{2x}{3}-\frac{y}{2}=0,\\3(x-1)-9=1-y;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\frac{5x}{6}-y=-\frac{5}{6},\\\frac{2x}{3}+3y=-\frac{2}{3}.\end{cases}$$ - Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно $$280\ \text{км}$$, выходят одновременно два автомобиля. Если автомобили будут двигаться навстречу друг другу, то встреча произойдёт через $$2\ \text{ч}$$. Если же они будут двигаться в одном направлении, то автомобиль, вышедший из А, догонит автомобиль, вышедший из В, через $$14\ \text{ч}$$. Какова скорость каждого автомобиля?
а)
$$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}-5=0,\\ 2x-y=10 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$12$$, а второе — на $$3$$:
$$\begin{cases} 4x+3y=60,\\ 6x-3y=30 \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$10x=90,$$
откуда $$x=9$$. Подставим в первое уравнение:
$$4\cdot 9+3y=60,$$
$$3y=24,$$
$$y=8.$$б)
$$\begin{cases} 2x-7y=4,\\ \dfrac{x}{6}-\dfrac{y}{6}=0 \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $$6$$:
$$x-y=0,$$
значит $$x=y$$. Подставим в первое уравнение:
$$2y-7y=4,$$
$$-5y=4,$$
$$y=-\dfrac{4}{5}.$$
Тогда $$x=-\dfrac{4}{5}.$$в)
$$\begin{cases} \dfrac{2x}{3}-\dfrac{y}{2}=0,\\ 3(x-1)-9=1-y \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$6$$:
$$4x-3y=0.$$
Второе уравнение преобразуем:
$$3x-3-9=1-y,$$
$$3x+y=13.$$
Умножим второе уравнение на $$3$$:
$$9x+3y=39.$$
Складываем с первым:
$$13x=39,$$
откуда $$x=3$$. Подставим:
$$4\cdot 3-3y=0,$$
$$12-3y=0,$$
$$y=4.$$г)
$$\begin{cases} \dfrac{5x}{6}-y=-\dfrac{5}{6},\\ \dfrac{2x}{3}+3y=-\dfrac{2}{3} \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$6$$, второе — на $$3$$:
$$\begin{cases} 5x-6y=-5,\\ 2x+9y=-2 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$, второе — на $$5$$:
$$\begin{cases} 10x-12y=-10,\\ 10x+45y=-10 \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$57y=0,$$
значит $$y=0$$. Тогда из $$5x-6y=-5$$ получаем:
$$5x=-5,$$
$$x=-1.$$
Ответ
а) $$x=9,\ y=8$$;
б) $$x=-\dfrac{4}{5},\ y=-\dfrac{4}{5}$$;
в) $$x=3,\ y=4$$;
г) $$x=-1,\ y=0$$.
