Упр.1109 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Найдите решение системы уравнений:
а) $$\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}-2=0,\\5x-y=11;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}0{,}5x+0{,}2y=7,\\\frac{x}{3}-\frac{y}{10}=0;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}\frac{m}{5}-\frac{n}{6}=0,\\5m-4n=2;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\frac{u}{6}-\frac{v}{3}=-3,\\0{,}2u+0{,}1v=3{,}9.\end{cases}$$ - Теплоход проходит за 3 ч по течению и 2 ч против течения 240 км. Этот же теплоход за 3 ч против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 ч по течению. Найдите скорость теплохода против течения и его скорость по течению.
а) Умножим первое уравнение на $$12$$:
$$\begin{cases} \frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y-2=0,\\ 5x-y=11 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x+3y=24,\\ 5x-y=11 \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $$3$$:
$$\begin{cases} 4x+3y=24,\\ 15x-3y=33 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$19x=57,\quad x=3.$$
Подставим в первое уравнение:
$$4\cdot 3+3y=24,\quad 3y=12,\quad y=4.$$
Ответ: $$x=3,\ y=4.$$
б) Умножим первое уравнение на $$20$$, а второе — на $$30$$:
$$\begin{cases} 0{,}5x+0{,}2y=7,\\ \frac{1}{3}x-\frac{1}{10}y=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 10x+4y=140,\\ 10x-3y=0 \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$7y=140,\quad y=20.$$
Подставим в уравнение $$10x-3y=0$$:
$$10x-3\cdot 20=0,\quad 10x=60,\quad x=6.$$
Ответ: $$x=6,\ y=20.$$
в) Умножим первое уравнение на $$30$$, а второе — на $$5$$:
$$\begin{cases} \frac{1}{5}m-\frac{1}{6}n=0,\\ 5m-4n=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6m-5n=0,\\ 25m-20n=10 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$4$$:
$$24m-20n=0.$$
Вычтем это уравнение из второго:
$$-19m=10,\quad m=-\frac{10}{19}.$$
Подставим в $$6m-5n=0$$:
$$6\left(-\frac{10}{19}\right)-5n=0,\quad -\frac{60}{19}=5n,\quad n=-\frac{12}{19}.$$
Ответ: $$m=-\frac{10}{19},\ n=-\frac{12}{19}.$$
г) Умножим первое уравнение на $$6$$, а второе — на $$10$$:
$$\begin{cases} \frac{1}{6}u-\frac{1}{3}v=-3,\\ 0{,}2u+0{,}1v=3{,}9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u-2v=-18,\\ 2u+v=39 \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$u$$:
$$u=2v-18.$$
Подставим во второе:
$$2(2v-18)+v=39,\quad 5v=75,\quad v=15.$$
Тогда
$$u=2\cdot 15-18=12.$$
Ответ: $$u=12,\ v=15.$$
Пусть $$x$$ км/ч — скорость теплохода по течению, а $$y$$ км/ч — скорость против течения. Тогда составим систему:
$$\begin{cases} 3x+2y=240,\\ 3y-2x=35 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$3$$, а второе — на $$2$$:
$$\begin{cases} 9x+6y=720,\\ 6y-4x=70 \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$13x=650,\quad x=50.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3\cdot 50+2y=240,\quad 2y=90,\quad y=45.$$
Ответ: скорость теплохода по течению $$50$$ км/ч, против течения $$45$$ км/ч.
