Упр.1090 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения: а) $$5x-4y=16$$ и $$x-2y=6$$; б) $$20x-15y=100$$ и $$3x-y=6$$.
2. График линейной функции пересекает ось $$x$$ в точке с абсциссой $$4$$, а ось $$y$$ в точке с ординатой $$11$$. Задайте эту функцию формулой.

а) Найдём координаты точки пересечения, решив систему:

$$\begin{cases} 5x-4y=16,\\ x-2y=6. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$x=6+2y.$$

Подставим в первое:

$$5(6+2y)-4y=16$$

$$30+10y-4y=16$$

$$6y=-14$$

$$y=-\frac{14}{6}=-\frac{7}{3}.$$

Тогда

$$x=6+2\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)=6-\frac{14}{3}=\frac{4}{3}.$$

Точка пересечения: $$\left(\frac{4}{3};-\frac{7}{3}\right).$$

б) Решим систему:

$$\begin{cases} 20x-15y=100,\\ 3x-y=6. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$y=3x-6.$$

Подставим в первое:

$$20x-15(3x-6)=100$$

$$20x-45x+90=100$$

$$-25x=10$$

$$x=-\frac{10}{25}=-\frac{2}{5}.$$

Тогда

$$y=3\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)-6=-\frac{6}{5}-6=-\frac{36}{5}.$$

Точка пересечения: $$\left(-\frac{2}{5};-\frac{36}{5}\right).$$

График линейной функции проходит через точки $$(4;0)$$ и $$(0;11).$$

Найдём угловой коэффициент:

$$k=\frac{0-11}{4-0}=-\frac{11}{4}.$$

Так как при $$x=0$$ имеем $$y=11,$$ то свободный член $$b=11.$$

Следовательно, формула функции:

$$y=-\frac{11}{4}x+11.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{4}{3};-\frac{7}{3}\right)$$; б) $$\left(-\frac{2}{5};-\frac{36}{5}\right)$$; $$y=-\frac{11}{4}x+11.$$