Упр.1089 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений: а) $$7x+4y=23$$ и $$8x-10y=19$$; б) $$11x-6y=2$$ и $$-8x+5y=3$$.
2. Прямая $$y=kx+b$$ проходит через точки $$A(-1;3)$$ и $$B(2;-1)$$. Напишите уравнение этой прямой.

а) Найдём точку пересечения графиков системы:

$$\begin{cases} 7x+4y=23,\\ 8x-10y=19. \end{cases}$$

Выразим $$x$$ из первого уравнения:

$$x=\frac{23-4y}{7}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$8\cdot \frac{23-4y}{7}-10y=19.$$

Умножим на $$7$$:

$$8(23-4y)-70y=133.$$

$$184-32y-70y=133$$

$$184-102y=133$$

$$-102y=-51$$

$$y=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$x=\frac{23-4\cdot \frac12}{7}=\frac{23-2}{7}=3.$$

Следовательно, точка пересечения: $$\left(3;\frac12\right).$$

б) Решим систему:

$$\begin{cases} 11x-6y=2,\\ -8x+5y=3. \end{cases}$$

Выразим $$x$$ из первого уравнения:

$$x=\frac{2+6y}{11}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$-8\cdot \frac{2+6y}{11}+5y=3.$$

Умножим на $$11$$:

$$-8(2+6y)+55y=33$$

$$-16-48y+55y=33$$

$$7y=49$$

$$y=7.$$

Тогда

$$x=\frac{2+6\cdot 7}{11}=\frac{44}{11}=4.$$

Следовательно, точка пересечения: $$\left(4;7\right).$$

Прямая $$y-kx+b$$ проходит через точки $$A(-1;3)$$ и $$B(2;-1)$$. Подставим координаты точек:

$$\begin{cases} 3=-k+b,\\ -1=2k+b. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$-1-3=2k-(-k),$$

$$-4=3k,$$

$$k=-\frac43.$$

Найдём $$b$$:

$$3=-\left(-\frac43\right)+b,$$

$$3=\frac43+b,$$

$$b=\frac53.$$

Значит, уравнение прямой:

$$y=-\frac43x+\frac53.$$

Ответ

а) $$\left(3;\frac12\right)$$; б) $$\left(4;7\right)$$; $$y=-\frac43x+\frac53$$.