Упр.1074 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Какие из пар $$(-3; 4),\ (-2; -6),\ (-4; 3)$$ являются решениями системы уравнений:
   а) $$x=y-7,\quad 3x+4y-9$$;
   б) $$13x-y=0,\quad 5x-y=-4$$?
2. Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения:
   а) $$5x-4y=16$$ и $$x-2y=6$$;
   б) $$20x-15y=100$$ и $$3x-y=6$$.

а) Проверим каждую пару подстановкой в систему $$\begin{cases}x=y-7,\\ 3x+4y=0.\end{cases}$$

$$(-3;4):\quad -3=4-7,\quad 3\cdot(-3)+4\cdot4=-9+16=7\neq 0,$$ значит, не является решением.

$$(-2;-6):\quad -2=-6-7 \text{ — неверно},$$ значит, не является решением.

$$(-4;3):\quad -4=3-7,\quad 3\cdot(-4)+4\cdot3=-12+12=0,$$ значит, является решением.

б) Проверим пары в системе $$\begin{cases}13x-y=0,\\ 5x-y=-4.\end{cases}$$

$$(-3;4):\quad 13\cdot(-3)-4=-43\neq 0,$$ значит, не является решением.

$$(-2;-6):\quad 13\cdot(-2)-(-6)=-20\neq 0,$$ значит, не является решением.

$$(-4;3):\quad 13\cdot(-4)-3=-55\neq 0,$$ значит, не является решением.

Ответ: а) $$(-4;3)$$; б) ни одна из данных пар.

Решение

а) Найдём точку пересечения графиков уравнений $$\begin{cases}5x-4y=16,\\ x-2y=6.\end{cases}$$

Из второго уравнения: $$x=6+2y.$$ Подставим в первое:

$$5(6+2y)-4y=16$$

$$30+10y-4y=16$$

$$6y=-14$$

$$y=-\frac{7}{3}.$$

Тогда

$$x=6+2\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)=6-\frac{14}{3}=\frac{4}{3}.$$

Точка пересечения: $$\left(\frac{4}{3};-\frac{7}{3}\right).$$

б) Найдём точку пересечения графиков уравнений $$\begin{cases}20x-15y=100,\\ 3x-y=6.\end{cases}$$

Из второго уравнения: $$y=3x-6.$$ Подставим в первое:

$$20x-15(3x-6)=100$$

$$20x-45x+90=100$$

$$-25x=10$$

$$x=-\frac{2}{5}.$$

Тогда

$$y=3\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)-6=-\frac{6}{5}-6=-\frac{36}{5}.$$

Точка пересечения: $$\left(-\frac{2}{5};-\frac{36}{5}\right).$$

Ответ

а) $$\left(\frac{4}{3};-\frac{7}{3}\right)$$; б) $$\left(-\frac{2}{5};-\frac{36}{5}\right).$$