Упр.1058 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на $$5$$ даёт остаток $$1$$, а при делении на $$6$$ — остаток $$2$$.
2. Какие из пар $$(-3; 4)$$, $$(-2; -6)$$, $$(-4; 3)$$ являются решениями системы уравнений:
   а) $$\begin{cases}x=y-7,\\3x+4y=9;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}13x-y=0,\\5x-y=-4?\end{cases}$$

Пусть искомое число равно $$x.$$ Тогда

$$x=5n+1$$

и одновременно

$$x=6m+2,$$

где $$n$$ и $$m$$ — целые неотрицательные числа.

Приравняем выражения для $$x$$:

$$5n+1=6m+2$$

$$5n=6m+1$$

$$n=\frac{6m+1}{5}.$$

Нужно, чтобы $$n$$ было целым. Проверим наименьшие значения $$m$$:

$$m=0 \Rightarrow n=\frac{1}{5}$$ — не подходит;

$$m=1 \Rightarrow n=\frac{7}{5}$$ — не подходит;

$$m=2 \Rightarrow n=\frac{13}{5}$$ — не подходит;

$$m=3 \Rightarrow n=\frac{19}{5}$$ — не подходит;

$$m=4 \Rightarrow n=\frac{25}{5}=5.$$

Значит, минимальное число:

$$x=6\cdot 4+2=26.$$

Проверка: $$26:5=5$$ (остаток $$1$$), $$26:6=4$$ (остаток $$2$$).

Ответ

$$26$$