Упр.1058 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

Используем утверждение о том, что для любого целого числа a и натурального b существует единственная пара целых чисел q и r, таких, что a=bq+r, где 0 < r < b. Пусть искомое число x, тогда x=5n+1 и x=6m+2. 5n+1=6m+2 5n=6m+1 n=(6m+1)/5 Найдём минимальное число m, при котором получим целое число n. n=(6m+1)/5=(6•4+1)/5=25/5=5 Минимальное целое число m=4, тогда найдём искомое число: x=6m+2=6•4+2=24+2=26 Ответ: искомое число 26.

Подробный ответ

Пусть искомое натуральное число равно $$x$$. Тогда при делении на 5 оно даёт остаток 1, значит

$$x=5n+1,$$

а при делении на 6 даёт остаток 2, значит

$$x=6m+2,$$

где $$m$$ и $$n$$ — целые неотрицательные числа.

Приравняем выражения для $$x$$:

$$5n+1=6m+2$$

$$5n=6m+1$$

$$n=\frac{6m+1}{5}.$$

Чтобы $$n$$ было целым, подберём наименьшее $$m$$, при котором число $$6m+1$$ делится на 5. Проверим:

$$m=1 \Rightarrow \frac{6\cdot 1+1}{5}=\frac{7}{5},$$