Упр.1057 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. В результате перестановки цифр двузначного числа оно увеличилось на 54. Найдите это число.
2. Является ли пара чисел $$u=3,\ v=-1$$ решением системы уравнений:
   а) $$\begin{cases}3u+v=8,\\7u-2v=23;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}v+2u=5,\\u+2u=1?\end{cases}$$

Пусть первоначальное двузначное число было $$xy,$$ где $$x$$ — число десятков, $$y$$ — число единиц.

После перестановки цифр получили число $$yx.$$ По условию оно увеличилось на $$54$$, значит:

$$yx-xy=54$$

$$\left(10y+x\right)-\left(10x+y\right)=54$$

$$10y+x-10x-y=54$$

$$9y-9x=54$$

$$9(y-x)=54$$

$$y-x=6$$

$$y=x+6$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — цифры, то возможны только такие значения:

при $$x=1$$, $$y=7$$, получаем число $$17$$;

при $$x=2$$, $$y=8$$, получаем число $$28$$;

при $$x=3$$, $$y=9$$, получаем число $$39$$.

При $$x\ge 4$$ число $$y=x+6$$ уже не является цифрой, поэтому других вариантов нет.

Ответ

$$17,\ 28,\ 39$$