Упр.1039 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Делится ли на 5 при любом целом $$n$$ выражение:
   а) $$(2n + 3)(3n — 7) — (n + 1)(n — 1)$$;
   б) $$(7n + 8)(n — 1) + (3n — 2)(n + 2)$$?
2. Мука расфасована в пакеты по 3 кг и по 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получить 20 кг муки?

а) Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$(2n+3)(3n-7)-(n+1)(n-1)=$$
$$=6n^2-14n+9n-21-(n^2-1)=$$
$$=6n^2-14n+9n-21-n^2+1=$$
$$=5n^2-5n-20=5(n^2-n-4).$$

Значит, выражение делится на $$5$$ при любом целом $$n$$.

б) Аналогично:

$$(7n+8)(n-1)+(3n-2)(n+2)=$$
$$=7n^2-7n+8n-8+3n^2+6n-2n-4=$$
$$=10n^2+5n-12.$$

Это выражение не всегда делится на $$5$$, так как число $$-12$$ на $$5$$ не делится.

Проверим по модулю $$5$$:

$$10n^2+5n-12=5(2n^2+n)-12,$$
то есть при делении на $$5$$ остаётся остаток, равный остатку от числа $$-12$$, а это $$3$$. Следовательно, выражение не делится на $$5$$ при любом целом $$n$$.

Ответ

а) Делится на $$5$$ при любом целом $$n$$; б) не делится на $$5$$.