Упр.1037 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что многочлен принимает лишь неотрицательные значения:
   а) $$x^2-2xy+y^2+a^2$$;
   б) $$4x^2+a^2-4x+1$$;
   в) $$9b^2-6b+4c^2+1$$;
   г) $$a^2+2ab+2b^2+2b+1$$;
   д) $$x^2-4xy+y^2+x^2y^2+1$$;
   е) $$x^2+y^2+2x+6y+10$$.
2. Ученик купил тетради по 50 р. и карандаши по 70 р. Сколько тетрадей купил ученик, если известно, что за всю покупку он заплатил 440 р.?

а) $$x^2-2xy+y^2+a^2=(x-y)^2+a^2.$$ Так как $$\left(x-y\right)^2\ge 0$$ и $$a^2\ge 0,$$ то $$x^2-2xy+y^2+a^2\ge 0.$$

б) $$4x^2+a^2-4x+1=(2x-1)^2+a^2.$$ Следовательно, $$4x^2+a^2-4x+1\ge 0.$$

в) $$9b^2-6b+4c^2+1=(3b-1)^2+4c^2.$$ Значит, $$9b^2-6b+4c^2+1\ge 0.$$

г) $$a^2+2ab+2b^2+2b+1=(a^2+2ab+b^2)+(b^2+2b+1)=(a+b)^2+(b+1)^2.$$ Поэтому $$a^2+2ab+2b^2+2b+1\ge 0.$$

д) $$x^2-4xy+y^2+x^2y^2+1=(x^2-2xy+y^2)+(x^2y^2-2xy+1)=(x-y)^2+(xy-1)^2.$$ Следовательно, $$x^2-4xy+y^2+x^2y^2+1\ge 0.$$

е) $$x^2+y^2+2x+6y+10=(x^2+2x+1)+(y^2+6y+9).$$ Тогда

$$x^2+y^2+2x+6y+10=(x+1)^2+(y+3)^2+0\ge 0.$$

Ответ

Во всех пунктах многочлены принимают лишь неотрицательные значения.