Упр.1024 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что число, равное разности $$111\ 111-222$$, является квадратом натурального числа.
2. Докажите тождество $$(10n+5)^2=100n(n+1)+25$$. Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5. Найдите по этому правилу $$25^2,\ 45^2,\ 75^2,\ 115^2$$.

Докажем тождество:

$$(10n+5)^2=100n(n+1)+25.$$

Раскроем скобки в левой части:

$$(10n+5)^2=100n^2+100n+25.$$

Преобразуем правую часть:

$$100n(n+1)+25=100n^2+100n+25.$$

Левая и правая части равны, значит, тождество доказано.

Из этого следует правило: чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся цифрой $$5$$, нужно число десятков умножить на следующее за ним число и приписать справа $$25$$.

Вычислим:

$$25^2=100\cdot 2\cdot 3+25=600+25=625$$

$$45^2=100\cdot 4\cdot 5+25=2000+25=2025$$

$$75^2=100\cdot 7\cdot 8+25=5600+25=5625$$

$$115^2=100\cdot 11\cdot 12+25=13200+25=13225$$

Ответ: тождество доказано; $$25^2=625,$$ $$45^2=2025,$$ $$75^2=5625,$$ $$115^2=13225.$$