Упр.1023 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Представьте в виде произведения:
а) $$7а^3+7b^3$$; б) $$2а^4-2b^4$$; в) $$5а^4+5b^4$$; г) $$2{,}5а^6-2{,}b^6$$; д) $$1{,}2а^6+1{,}2b^6$$; е) $$3а^8-3b^8$$. - Делится ли на 5 при любом целом $$n$$ выражение:
а) $$(2n+3)(3n-7)-(n+1)(n-1)$$; б) $$(7n+8)(n-1)+(3n-2)(n+2)$$?
а) $$7a^3+7b^3=7(a^3+b^3)=7(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
б) $$2a^4-2b^4=2(a^4-b^4)=2(a^2-b^2)(a^2+b^2)=2(a-b)(a+b)(a^2+b^2).$$
в) $$5a^4+5b^4=5(a^4+b^4).$$
г) $$2{,}5a^6-2{,}5b^6=2{,}5(a^6-b^6)=2{,}5(a^3-b^3)(a^3+b^3)=2{,}5(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
д) $$1{,}2a^6+1{,}2b^6=1{,}2(a^6+b^6).$$
е) $$3a^8-3b^8=3(a^8-b^8)=3(a^4-b^4)(a^4+b^4)=3(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4)=3(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4).$$
а) $$\frac{(2n+3)(3n-7)-(n+1)(n-1)}{5}$$
$$=(6n^2-14n+9n-21)-(n^2-1)$$
$$=\frac{5n^2-5n-20}{5}=\frac{5(n^2-n-4)}{5}=n^2-n-4.$$
Значит, выражение делится на $$5$$ при любом целом $$n$$.
б) $$\frac{(7n+8)(n-1)+(3n-2)(n+2)}{5}$$
$$=\frac{7n^2-7n+8n-8+3n^2+6n-2n-4}{5}$$
$$=\frac{10n^2+5n-12}{5}=\frac{5n(2n+1)-12}{5}.$$
Так как числитель не всегда кратен $$5$$, выражение не делится на $$5$$ при любом целом $$n$$.
Ответ: а) $$7(a+b)(a^2-ab+b^2)$$; б) $$2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$$; в) $$5(a^4+b^4)$$; г) $$2{,}5(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2)$$; д) $$1{,}2(a^6+b^6)$$; е) $$3(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$$; в 2019 году: а) делится, б) не делится.
