Упр.1020 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2026 года. В книге Леонарда Эйлера (XVIII в.) используется тождество $$\left(p^2+cq^2\right)\left(r^2+cs^2\right)=\left(pr+cqs\right)^2+c\left(ps-qr\right)^2.$$ Докажите его.
- Задание учебника 2019 года. Представьте в виде произведения:
а) $$x^3+y^3+2x^2-2xy+2y^2$$;
б) $$a^3-b^3+3a^2+3ab+3b^2$$;
в) $$a^4+ab^3-a^3b-b^4$$;
г) $$x^4+x^3y-xy^3-y^4$$.
$$\left(p^2+cq^2\right)\left(r^2+cs^2\right)=p^2r^2+cp^2s^2+cq^2r^2+c^2q^2s^2.$$
С другой стороны,
$$\left(pr+cqs\right)^2+c\left(ps-qr\right)^2=$$
$$=p^2r^2+2cprqs+c^2q^2s^2+c\left(p^2s^2-2psqr+q^2r^2\right).$$
После раскрытия скобок получаем
$$p^2r^2+2cprqs+c^2q^2s^2+cp^2s^2-2cpsqr+cq^2r^2.$$
Так как $$2cprqs-2cpsqr=0,$$ то остаётся
$$p^2r^2+cp^2s^2+cq^2r^2+c^2q^2s^2.$$
Это совпадает с левой частью, значит, тождество доказано.
Для представления в виде произведения используем группировку и формулы сокращённого умножения.
$$x^3+y^3+2x^2-2xy+2y^2=(x+y)(x^2-xy+y^2)+2(x^2-xy+y^2)$$
$$=(x^2-xy+y^2)(x+y+2).$$
$$a^3-b^3+3a^2+3ab+3b^2=(a-b)(a^2+ab+b^2)+3(a^2+ab+b^2)$$
$$=(a^2+ab+b^2)(a-b+3).$$
$$a^4+ab^3-a^3b-b^4=(a^4-b^4)-ab(a^2-b^2)$$
$$=(a^2-b^2)(a^2+b^2)-ab(a^2-b^2)$$
$$=(a^2-b^2)(a^2-ab+b^2)$$
$$=(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
$$x^4+x^3y-xy^3-y^4=(x^4-y^4)+xy(x^2-y^2)$$
$$=(x^2-y^2)(x^2+y^2)+xy(x^2-y^2)$$
$$=(x^2-y^2)(x^2+xy+y^2)$$
$$=(x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2).$$
Ответ: $$\left(p^2+cq^2\right)\left(r^2+cs^2\right)=\left(pr+cqs\right)^2+c\left(ps-qr\right)^2;$$
а) $$\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+2\right);$$
б) $$\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b+3\right);$$
в) $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right);$$
г) $$\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right).$$
