Упр.1020 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

(р2 + сq2) (r2 + cs2) = (pr + cqs)2 + с(ps — qr)2.
Докажите его.

Раскроем скобки в правой части:

$$ (pr+cqs)^2+c(ps-qr)^2 $$
$$ = p^2r^2+2cprqs+c^2q^2s^2+c p^2s^2-2cpsqr+cq^2r^2 $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ = p^2r^2+cq^2r^2+cp^2s^2+c^2q^2s^2 $$

Вынесем общий множитель в каждой паре:

$$ = (p^2+cq^2)(r^2+cs^2) $$

Получили левую часть тождества, значит,

$$ (p^2+cq^2)(r^2+cs^2)=(pr+cqs)^2+c(ps-qr)^2. $$

Ответ

$$ (p^2+cq^2)(r^2+cs^2)=(pr+cqs)^2+c(ps-qr)^2 $$