Упр.1019 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2026 года. Найдите значение выражения: а) $$(у + 5)(у^2 — 5у + 25) — у(у^2 + 3)$$ при $$у = -2$$; б) $$х(х + 3)^2 — (х — 1)(х^2 + х + 1)$$ при $$х = -4$$; в) $$(2р — 1)(4р^2 + 2р + 1) — р(р — 1)(р + 1)$$ при $$р = 1{,}5$$.
- Задание учебника 2019 года. Разложите на множители: а) $$х^3 + у^3 + 2ху(х + у)$$; б) $$х^3 — у^3 — 5х(х^2 + ху + у^2)$$; в) $$2b^3 + а(а^2 — 3b^2)$$; г) $$р^3 — 2р^2 + 2р — 1$$; д) $$8b^3 + 6b^2 + 3b + 1$$; е) $$а^3 — 4а^2 + 20а — 125$$.
а) $$\begin{aligned} (y+5)(y^2-5y+25)-y(y^2+3)&=y^3+125-y^3-3y\\ &=-3y+125. \end{aligned}$$
При $$y=-2$$ получаем:
$$-3\cdot(-2)+125=6+125=131.$$
б) $$\begin{aligned} x(x+3)^2-(x-1)(x^2+x+1)&=x(x^2+6x+9)-(x^3-1)\\ &=x^3+6x^2+9x-x^3+1\\ &=6x^2+9x+1. \end{aligned}$$
При $$x=-4$$:
$$6\cdot(-4)^2+9\cdot(-4)+1=6\cdot16-36+1=96-36+1=61.$$
в) $$\begin{aligned} (2p-1)(4p^2+2p+1)-p(p-1)(p+1) &=(8p^3-1)-p(p^2-1)\\ &=8p^3-1-p^3+p\\ &=7p^3+p-1. \end{aligned}$$
При $$p=1{,}5$$:
$$7\cdot(1{,}5)^3+1{,}5-1=7\cdot3{,}375+0{,}5=23{,}625+0{,}5=24{,}125.$$
Ответ: а) $$131$$; б) $$61$$; в) $$24{,}125$$.
Решение
а) $$\begin{aligned} x^3+y^3+2xy(x+y)&=(x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy(x+y)\\ &=(x+y)(x^2-xy+y^2+2xy)\\ &=(x+y)(x^2+xy+y^2). \end{aligned}$$
б) $$\begin{aligned} x^3-y^3-5x(x^2+xy+y^2)&=(x-y)(x^2+xy+y^2)-5x(x^2+xy+y^2)\\ &=(x^2+xy+y^2)(x-y-5x)\\ &=(x^2+xy+y^2)(-4x-y). \end{aligned}$$
в) $$\begin{aligned} 2b^3+a(a^2-3b^2)&=2b^3+a^3-3ab^2\\ &=a^3-b^3+3b^3-3ab^2\\ &=(a-b)(a^2+ab+b^2)-3b^2(a-b)\\ &=(a-b)(a^2+ab+b^2-3b^2)\\ &=(a-b)(a^2+ab-2b^2). \end{aligned}$$
г) $$\begin{aligned} p^3-2p^2+2p-1&=(p^3-1)-2p(p-1)\\ &=(p-1)(p^2+p+1)-2p(p-1)\\ &=(p-1)(p^2-p+1). \end{aligned}$$
д) $$\begin{aligned} 8b^3+6b^2+3b+1&=(8b^3+1)+3b(2b+1)\\ &=(2b+1)(4b^2-2b+1)+3b(2b+1)\\ &=(2b+1)(4b^2+b+1). \end{aligned}$$
е) $$\begin{aligned} a^3-4a^2+20a-125&=(a^3-125)-4a(a-5)\\ &=(a-5)(a^2+5a+25)-4a(a-5)\\ &=(a-5)(a^2+5a+25-4a)\\ &=(a-5)(a^2+a+25). \end{aligned}$$
Ответ: а) $$(x+y)(x^2+xy+y^2)$$; б) $$(x^2+xy+y^2)(-4x-y)$$; в) $$(a-b)(a^2+ab-2b^2)$$; г) $$(p-1)(p^2-p+1)$$; д) $$(2b+1)(4b^2+b+1)$$; е) $$(a-5)(a^2+a+25)$$.
