Упр.1013 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что значение выражения $$\left(b+c-2a\right)\left(c-b\right)+\left(c+a-2b\right)\left(a-c\right)-\left(a+b-2c\right)\left(a-b\right)$$ при любых значениях $$a$$, $$b$$ и $$c$$ равно $$0$$.
2. Решите уравнение:
   а) $$x^3+3x^2-4x-12=0$$;
   б) $$2m^3-m^2-18m+9=0$$;
   в) $$y^3-6y^2=6-y$$;
   г) $$2a^3+3a^2=2a+3$$.

а) $$x^3+3x^2-4x-12=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$x^2(x+3)-4(x+3)=0$$

$$(x+3)(x^2-4)=0$$

$$(x+3)(x-2)(x+2)=0$$

Отсюда:

$$x+3=0,\quad x-2=0,\quad x+2=0$$

$$x=-3,\quad x=2,\quad x=-2$$

б) $$2m^3-m^2-18m+9=0$$

Сгруппируем:

$$m^2(2m-1)-9(2m-1)=0$$

$$(2m-1)(m^2-9)=0$$

$$(2m-1)(m-3)(m+3)=0$$

Отсюда:

$$2m-1=0,\quad m-3=0,\quad m+3=0$$

$$m=\frac12,\quad m=3,\quad m=-3$$

в) $$y^3-6y^2=6-y$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$y^3-6y^2+y-6=0$$

Сгруппируем:

$$y^2(y-6)+(y-6)=0$$

$$(y-6)(y^2+1)=0$$

Отсюда:

$$y-6=0 \quad \text{или} \quad y^2+1=0$$

Действительных корней у уравнения $$y^2+1=0$$ нет, поэтому

$$y=6$$

г) $$2a^3+3a^2=2a+3$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2a^3+3a^2-2a-3=0$$

Сгруппируем:

$$a^2(2a+3)-(2a+3)=0$$

$$(2a+3)(a^2-1)=0$$

$$(2a+3)(a-1)(a+1)=0$$

Отсюда:

$$2a+3=0,\quad a-1=0,\quad a+1=0$$

$$a=-\frac32,\quad a=1,\quad a=-1$$

Ответ

а) $$x=-3,\,-2,\,2$$; б) $$m=-3,\,\frac12,\,3$$; в) $$y=6$$; г) $$a=-\frac32,\,-1,\,1$$.