Упр.1008 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$(x + 1)(x + 2) — (x — 3)(x + 4) = 6$$;
   б) $$(3x — 1)(2x + 7) — (x + 1)(6x — 5) = 7$$;
   в) $$24 — (3y + 1)(4y — 5) = (11 — 6y)(2y — 7)$$;
   г) $$(6y + 2)(5 — y) = 47 — (2y — 3)(3y — 1)$$.
2. Докажите, что число, равное разности $$111\,111 — 222$$, является квадратом натурального числа.

а) Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$(x+1)(x+2)-(x-3)(x+4)=6$$

$$x^2+3x+2-\left(x^2+x-12\right)=6$$

$$x^2+3x+2-x^2-x+12=6$$

$$2x+14=6$$

$$2x=-8$$

$$x=-4$$

б) Аналогично:

$$(3x-1)(2x+7)-(x+1)(6x-5)=7$$

$$6x^2+21x-2x-7-\left(6x^2-5x+6x-5\right)=7$$

$$6x^2+19x-7-6x^2+x+5=7$$

$$20x-2=7$$

$$20x=9$$

$$x=\frac{9}{20}$$

в) Раскроем скобки:

$$24-(3y+1)(4y-5)=(11-6y)(2y-7)$$

$$24-\left(12y^2-15y+4y-5\right)=22y-77-12y^2+42y$$

$$24-12y^2+11y+5=64y-12y^2-77$$

$$29+11y=64y-77$$

$$-53y=-106$$

$$y=2$$

г) Раскроем скобки и упростим:

$$(6y+2)(5-y)=47-(2y-3)(3y-1)$$

$$30y-6y^2+10-2y=47-\left(6y^2-2y-9y+3\right)$$

$$28y-6y^2+10=47-6y^2+11y-3$$

$$28y+10=44+11y$$

$$17y=34$$

$$y=2$$

Докажем, что число $$111111-222$$ является квадратом натурального числа:

$$111111-222=111\cdot 1001-111\cdot 2=111\cdot 999$$

$$111\cdot 999=111\cdot(111\cdot 3\cdot 3)=111^2\cdot 3^2=(111\cdot 3)^2=333^2$$

Значит, $$111111-222$$ — квадрат натурального числа.

Ответ

а) $$x=-4$$; б) $$x=\frac{9}{20}$$; в) $$y=2$$; г) $$y=2$$; $$111111-222=333^2$$.