Упр.1005 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Представьте в виде произведения: а) $$(x+1)^3+x^3$$; б) $$(y-2)^3-27$$; в) $$(a-b)^3+b^3$$; г) $$8x^3+(x-y)^3$$; д) $$27a^3-(a-b)^3$$; е) $$1000+(b-8)^3$$.
- При каком значении $$a$$ многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению $$(x^2+x-1)(x-a)$$, не содержит: а) $$x^2$$; б) $$x?$$?
Используем формулу суммы и разности кубов:
$$u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2),$$
$$u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2).$$
$$(x+1)^3+x^3=(x+1)^3+x^3$$
Положим $$u=x+1,$$ $$v=x.$$ Тогда
$$(x+1)^3+x^3=((x+1)+x)\bigl((x+1)^2-x(x+1)+x^2\bigr).$$
Упростим скобки:
$$(2x+1)(x^2+x+1).$$
$$(y-2)^3-27=(y-2)^3-3^3$$
Тогда
$$(y-2)^3-3^3=((y-2)-3)\bigl((y-2)^2+3(y-2)+9\bigr).$$
Получаем
$$(y-5)(y^2-y+7).$$
$$(a-b)^3+b^3$$
Пусть $$u=a-b,$$ $$v=b.$$ Тогда
$$(a-b)^3+b^3=((a-b)+b)\bigl((a-b)^2-b(a-b)+b^2\bigr).$$
Упрощаем:
$$a(a^2-3ab+3b^2).$$
$$8x^3+(x-y)^3=(2x)^3+(x-y)^3$$
По формуле суммы кубов:
$$(2x+x-y)\bigl((2x)^2-2x(x-y)+(x-y)^2\bigr).$$
После упрощения:
$$(3x-y)(3x^2+y^2).$$
$$27a^3-(a-b)^3=(3a)^3-(a-b)^3$$
По формуле разности кубов:
$$(3a-(a-b))\bigl((3a)^2+3a(a-b)+(a-b)^2\bigr).$$
Получаем
$$(2a+b)(13a^2-5ab+b^2).$$
$$1000+(b-8)^3=10^3+(b-8)^3$$
По формуле суммы кубов:
$$(10+b-8)\bigl(10^2-10(b-8)+(b-8)^2\bigr).$$
Упрощаем:
$$(b+2)(b^2-26b+244).$$
Ответ:
а) $$(2x+1)(x^2+x+1)$$; б) $$(y-5)(y^2-y+7)$$; в) $$a(a^2-3ab+3b^2)$$; г) $$(3x-y)(3x^2+y^2)$$; д) $$(2a+b)(13a^2-5ab+b^2)$$; е) $$(b+2)(b^2-26b+244)$$.
