Упр.1004 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2026 года. Докажите, что значение выражения: а) $$41^3+19^3$$ делится на $$60$$; б) $$79^3-29^3$$ делится на $$50$$; в) $$66^3+34^3$$ делится на $$400$$; г) $$54^3-24^3$$ делится на $$1080$$.
2. Задание учебника 2019 года. В книге Леонарда Эйлера (XVIII в.) используется тождество $$\left(p^2+cq^2\right)\left(r^2+cs^2\right)=\left(pr+cqs\right)^2+c\left(ps-qr\right)^2$$. Докажите его.

а) Используем формулу суммы кубов:

$$41^3+19^3=(41+19)(41^2-41\cdot 19+19^2).$$

Так как $$41+19=60,$$ то

$$41^3+19^3=60(41^2-41\cdot 19+19^2),$$

значит, выражение делится на $$60$$.

б) Используем формулу разности кубов:

$$79^3-29^3=(79-29)(79^2+79\cdot 29+29^2).$$

Так как $$79-29=50,$$ то

$$79^3-29^3=50(79^2+79\cdot 29+29^2),$$

значит, выражение делится на $$50$$.

в) Представим числа так, чтобы выделить общий множитель:

$$66^3+34^3=(66+34)(66^2-66\cdot 34+34^2).$$

Так как $$66+34=100,$$ получаем

$$66^3+34^3=100(66^2-66\cdot 34+34^2).$$

Заметим, что $$66=2\cdot 33,$$ $$34=2\cdot 17,$$ тогда

$$66^2-66\cdot 34+34^2=4(33^2-33\cdot 17+17^2).$$

Следовательно,

$$66^3+34^3=100\cdot 4(33^2-33\cdot 17+17^2)=400(33^2-33\cdot 17+17^2),$$

значит, выражение делится на $$400$$.

г) Аналогично:

$$54^3-24^3=(54-24)(54^2+54\cdot 24+24^2).$$

Так как $$54-24=30,$$ то

$$54^3-24^3=30(54^2+54\cdot 24+24^2).$$

Представим числа в виде $$54=6\cdot 9$$ и $$24=6\cdot 4$$:

$$54^2+54\cdot 24+24^2=36(9^2+9\cdot 4+4^2).$$

Тогда

$$54^3-24^3=30\cdot 36(9^2+9\cdot 4+4^2)=1080(9^2+9\cdot 4+4^2),$$

значит, выражение делится на $$1080$$.

Докажем тождество:

$$\left(p^2+cq^2\right)\left(r^2+cs^2\right)=\left(pr+cqs\right)^2+c\left(ps-qr\right)^2.$$

Раскроем скобки в правой части:

$$\left(pr+cqs\right)^2+c\left(ps-qr\right)^2=$$

$$=p^2r^2+2cprqs+c^2q^2s^2+c\left(p^2s^2-2pqrs+q^2r^2\right).$$

Сгруппируем слагаемые:

$$=p^2r^2+cq^2r^2+cp^2s^2+c^2q^2s^2.$$

Вынесем общий множитель:

$$= \left(p^2+cq^2\right)\left(r^2+cs^2\right).$$

Тождество доказано.

Ответ: а) делится на $$60$$; б) делится на $$50$$; в) делится на $$400$$; г) делится на $$1080$$; тождество верно.