Упр.1000 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

а) (n + 1)2 — (n — 1)2 делится на 4;
б) (2n + 3)2 — (2n — 1)2 делится на 8;
в) (3n + 1)2 — (3n — 1)2 делится на 12;
г) (5n + 1)2 — (2n — 1)2 делится на 7.

Используем формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

1. $$ (n+1)^2-(n-1)^2=((n+1)-(n-1))((n+1)+(n-1))=2\cdot 2n=4n. $$

   Так как $$4n$$ делится на $$4$$ при любом натуральном $$n$$, то выражение делится на $$4$$.

2. $$ (2n+3)^2-(2n-1)^2=((2n+3)-(2n-1))((2n+3)+(2n-1))=4\cdot(4n+2)=8(2n+1). $$

   Следовательно, выражение делится на $$8$$.

3. $$ (3n+1)^2-(3n-1)^2=((3n+1)-(3n-1))((3n+1)+(3n-1))=2\cdot 6n=12n. $$

   Значит, выражение делится на $$12$$.

4. $$ (5n+1)^2-(2n-1)^2=((5n+1)-(2n-1))((5n+1)+(2n-1))=(3n+2)(7n). $$

   Получаем:

   $$ (5n+1)^2-(2n-1)^2=7n(3n+2). $$

   Следовательно, выражение делится на $$7$$.

Ответ

а) делится на $$4$$; б) делится на $$8$$; в) делится на $$12$$; г) делится на $$7$$.