Упр.1000 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения:
   а) $$(n+1)^2-(n-1)^2$$ делится на $$4$$;
   б) $$(2n+3)^2-(2n-1)^2$$ делится на $$8$$;
   в) $$(3n+1)^2-(3n-1)^2$$ делится на $$12$$;
   г) $$(5n+1)^2-(2n-1)^2$$ делится на $$7$$.
2. Представьте в виде многочлена $$(a(a+2b)+b^2)(a(a-2b)+b^2)((a^2-b^2)^2+4a^2b^2).$$

а) $$\frac{(n+1)^2-(n-1)^2}{4}=\frac{n^2+2n+1-(n^2-2n+1)}{4}=\frac{4n}{4}=n.$$

Значит, $$(n+1)^2-(n-1)^2=4n,$$ то есть выражение делится на $$4$$.

б) $$\frac{(2n+3)^2-(2n-1)^2}{8}=\frac{4n^2+12n+9-(4n^2-4n+1)}{8}=\frac{16n+8}{8}=2n+1.$$

Значит, $$(2n+3)^2-(2n-1)^2=8(2n+1),$$ то есть выражение делится на $$8$$.

в) $$\frac{(3n+1)^2-(3n-1)^2}{12}=\frac{9n^2+6n+1-(9n^2-6n+1)}{12}=\frac{12n}{12}=n.$$

Значит, $$(3n+1)^2-(3n-1)^2=12n,$$ то есть выражение делится на $$12$$.

г) $$\frac{(5n+1)^2-(2n-1)^2}{7}=\frac{25n^2+10n+1-(4n^2-4n+1)}{7}=\frac{21n^2+14n}{7}=3n^2+2n=n(3n+2).$$

Значит, $$(5n+1)^2-(2n-1)^2=7n(3n+2),$$ то есть выражение делится на $$7$$.

Ответ

а) делится на $$4$$; б) делится на $$8$$; в) делится на $$12$$; г) делится на $$7$$.