Старинные задачи Глава 7 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)
2. Некто сказал другу: «Дай 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждго?
3. Сообща покупают курицу. Если каждый человек внесет по 9 монет, то останется 11, если же каждый внесет по 6 монет, то не хватит 16. Найти количество людей и стоимость курицы.
4. Имеется 5 воробьев и 6 ласточек, их взвесили на весах. Вес всех воробьев больше веса всех ласточек. Если переместить 1 ласточку и 1 воробья, то вес как раз будет одинаковым. Общий вес ласточек и воробьев 1 цзинь. Спрашивается, сколько весят ласточка и воробей в отдельности.
5. Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 7 динариев больше, то он мог бы дать каждому по 3 динария, но он раздает лишь по 2 динария и у него остается 3 динария. Сколько было бедных?
Пусть слиток золота весит $$x$$ ланов, а слиток серебра — $$y$$ ланов. Тогда
$$9x=11y.$$
После перестановки одного слитка золота и одного слитка серебра получаем:
$$8x+y+13=10y+x.$$
Составим систему:
$$ \begin{cases} 9x=11y,\\ 8x+y+13=10y+x \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 9x-11y=0,\\ 7x-9y=-13 \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$7$$, второе — на $$9$$:
$$ \begin{cases} 63x-77y=0,\\ 63x-81y=-117 \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$-4y=-117,\quad y=29{,}25.$$
Тогда
$$9x=11\cdot 29{,}25=321{,}75,\quad x=35{,}75.$$
Пусть у первого было $$x$$ рупий, а у второго — $$y$$ рупий.
По условию:
$$ \begin{cases} x+100=2(y-100),\\ y+10=6(x-10) \end{cases} $$
Преобразуем:
$$ \begin{cases} x-2y=-300,\\ y-6x=-70 \end{cases} $$
Умножим второе уравнение на $$2$$ и сложим с первым:
$$x-2y=-300$$
$$2y-12x=-140$$
$$-11x=-440,\quad x=40.$$
Тогда
$$y=6\cdot 40-70=170.$$
Пусть курицу покупают $$x$$ человек. Тогда стоимость курицы равна $$9x-11$$ монет.
Если каждый внесёт по $$6$$ монет, то не хватит $$16$$ монет, значит стоимость также равна $$6x+16$$.
Составим уравнение:
$$9x-11=6x+16.$$
$$3x=27,\quad x=9.$$
Стоимость курицы:
$$9\cdot 9-11=70.$$
Пусть ласточка весит $$x$$ цзинь, а воробей — $$y$$ цзинь. Тогда
$$5y+6x=1.$$
После перестановки одной ласточки и одного воробья веса сравняются:
$$4y+x=5x+y.$$
Получаем систему:
$$ \begin{cases} 5y+6x=1,\\ 4y+x=5x+y \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 5y+6x=1,\\ 3y=4x \end{cases} $$
Умножим второе уравнение на $$2$$:
$$6y=8x.$$
Умножим первое уравнение на $$3$$:
$$15y+18x=3.$$
Из соотношения $$3y=4x$$ имеем $$y=\frac{4x}{3}$$. Подставим в первое уравнение:
$$5\cdot \frac{4x}{3}+6x=1,$$
$$\frac{20x}{3}+\frac{18x}{3}=1,$$
$$\frac{38x}{3}=1,\quad x=\frac{3}{38}.$$
Тогда
$$y=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{38}=\frac{2}{19}.$$
Пусть у него было $$x$$ динариев, а бедных было $$y$$ человек.
Если бы денег было на $$7$$ динариев больше, то можно было бы дать каждому по $$3$$ динария:
$$x+7=3y.$$
Но он раздаёт по $$2$$ динария и у него остаётся $$3$$ динария, значит
$$x=2y+3.$$
Решим систему:
$$ \begin{cases} x+7=3y,\\ x=2y+3 \end{cases} $$
Подставим $$x=2y+3$$ в первое уравнение:
$$2y+3+7=3y,$$
$$y=10.$$
Ответ
1) $$35{,}75$$ ланов и $$29{,}25$$ ланов; 2) $$40$$ рупий и $$170$$ рупий; 3) $$9$$ человек, $$70$$ монет; 4) $$\frac{3}{38}$$ цзиня и $$\frac{2}{19}$$ цзиня; 5) $$10$$ бедных.
