Проверь себя Глава 2 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

2. Решить уравнение:
а) 2x-3(x-1)=4+2(x-1); б) x/3+(x+1)/4=2.
3. За 15 м ткани двух сортов заплатили 2840 р. При этом 1 м ткани I сорта стоит 200 р., а II сорта — 180 р. Сколько метров ткани каждого сорта куплено?
4. Доказать, что корнем уравнения 3x-1,5=2(x-0,75)+x является любое число.
5. При каком x значение выражения (x-2)/3 на 2 больше значения выражения (x-3)/2?
6. От пристани A до пристани B лодка плыла по течению реки 3,5 ч. На обратный путь она затратила 5 ч 15 мин. Какое расстояние преодолела лодка за все время движения, если скорость течения реки 2 км/ч?
7. При каком значении a уравнение 3(x-1)+2=(a-3)x:
а) имеет один корень; б) не имеет корней?
8. Найти значение x, при котором разность выражений 2(x-2)/3 и 3(ч-3)/4 равна выражению x+6 1/3.
9. Из поселка выехал автобус, а через час выехал автомобиль и догнал автобус через 1,5 ч. На каком расстоянии от поселка автомобиль догнал автобус, если скорость автомобиля на 40 км/ч больше скорости автобуса (автобус в пути не делал остановок)?

1. Проверим число $$1$$:
   $$3(1-7)+4=-14,\quad 7\cdot 1-1=6,$$
   не подходит.
   
   Проверим число $$0$$:
   $$3(0-7)+4=-17,\quad 7\cdot 0-1=-1,$$
   не подходит.
   
   Проверим число $$-4$$:
   $$3(-4-7)+4=-29,\quad 7\cdot(-4)-1=-29,$$
   значит, $$-4$$ — корень уравнения.

2. а)

   $$2x-3(x-1)=4+2(x-1)$$
   $$ 2x-3x+3=4+2x-2 \\ -x+3=2x+2 \\ -3x=-1 \\ x=\frac13 $$

   б)

   $$\frac{x}{3}+\frac{x+1}{4}=2$$
   $$ 12\left(\frac{x}{3}+\frac{x+1}{4}\right)=12\cdot 2 \\ 4x+3(x+1)=24 \\ 4x+3x+3=24 \\ 7x=21 \\ x=3 $$

3. Пусть купили $$x$$ м ткани I сорта, тогда ткани II сорта купили $$15-x$$ м.
   Составим уравнение:
   $$ 200x+180(15-x)=2840 $$
   $$ 200x+2700-180x=2840 \\ 20x=140 \\ x=7 $$
   Значит, ткани I сорта купили $$7$$ м, а II сорта:
   $$ 15-7=8 $$
4. Преобразуем уравнение:
   $$ 3x-1{,}5=2(x-0{,}75)+x $$
   $$ 3x-1{,}5=2x-1{,}5+x $$
   $$ 3x-1{,}5=3x-1{,}5 $$
   Получаем верное равенство при любом $$x$$, значит, корнем является любое число.
5. По условию:
   $$ \frac{x-2}{3}=\frac{x-3}{2}+2 $$
   Умножим на $$6$$:
   $$ 2(x-2)=3(x-3)+12 $$
   $$ 2x-4=3x-9+12 $$
   $$ 2x-4=3x+3 $$
   $$ -x=7 \\ x=-7 $$
6. Пусть скорость лодки в стоячей воде равна $$x$$ км/ч. Тогда по течению она плыла со скоростью $$x+2$$ км/ч, а против течения — со скоростью $$x-2$$ км/ч.
   
   $$5\text{ ч }15\text{ мин}=5{,}25\text{ ч}$$
   
   Составим уравнение:
   $$ 3{,}5(x+2)=5{,}25(x-2) $$
   $$ 3{,}5x+7=5{,}25x-10{,}5 $$
   $$ 17{,}5=1{,}75x \\ x=10 $$
   Тогда расстояние между пристанями:
   $$ 3{,}5\cdot(10+2)=42\text{ км} $$
   За весь путь лодка преодолела:
   $$ 42\cdot 2=84\text{ км} $$
7. Преобразуем уравнение:
   $$ 3(x-1)+2=(a-3)x $$
   $$ 3x-3+2=ax-3x $$
   $$ 6x-1=ax $$
   $$ (6-a)x=1 $$
   Если $$a\ne 6$$, уравнение имеет один корень:
   $$ x=\frac{1}{6-a} $$
   Если $$a=6$$, получаем:
   $$ 0\cdot x=1 $$
   что невозможно, значит, корней нет.
8. Решим уравнение:
   $$ \frac{2(x-2)}{3}-\frac{3(x-3)}{4}=x+6\frac13 $$
   Так как $$6\frac13=\frac{19}{3}$$, умножим на $$12$$:
   $$ 8(x-2)-9(x-3)=12x+76 $$
   $$ 8x-16-9x+27=12x+76 $$
   $$ -x+11=12x+76 $$
   $$ -13x=65 \\ x=-5 $$
9. Пусть скорость автобуса равна $$x$$ км/ч, тогда скорость автомобиля равна $$x+40$$ км/ч.
   Автобус ехал $$2{,}5$$ ч, автомобиль — $$1{,}5$$ ч. Составим уравнение:
   $$ 2{,}5x=1{,}5(x+40) $$
   $$ 2{,}5x=1{,}5x+60 $$
   $$ x=60 $$
   Значит, автобус ехал со скоростью $$60$$ км/ч, а автомобиль — $$100$$ км/ч.
   
   Расстояние от поселка до места встречи:
   $$ 2{,}5\cdot 60=150\text{ км} $$

Ответ

1) $$-4$$; 2) а) $$x=\frac13$$, б) $$x=3$$; 3) $$7$$ м и $$8$$ м; 4) любое число; 5) $$x=-7$$; 6) $$84$$ км; 7) при $$a\ne 6$$ — один корень, при $$a=6$$ — корней нет; 8) $$x=-5$$; 9) $$150$$ км.