Проверь себя Глава 8 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

2. Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 8 и 9.
3. Анна (А), Белла (Б) и Вера (В) купили билеты в кинотеатр 1, 2 и 3-е места первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут занять свои места.
4. С помощью цифр 0, 1, 5 записать все возможные двузначные числа, в которых цифры: а) должны быть разными; б) могут повторяться.
5. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1 и 5?
6. При встрече каждый из друзей пожал каждому другу руку. Сколько было друзей, если было сделано 15 рукопожатий?
7. Сколько различных пятизначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4?
8. Сколько ребер имеет полный граф, у которого 25 вершин?
9. С помощью графа изобразить процесс разрезания листа бумаги сперва на три части, затем разрезания одной части пополам, второй части на 3 части и третьей — на 4 части. Сколько кусков бумаги образовалось после всех разрезаний?
10. Имеются 6 книг, среди которых две разные книги одного автора, а остальные книги — других различных авторов. Сколькими способами можно расставить в ряд эти книги так, чтобы книги одного автора (в любой последовательности) стояли рядом?

1. Двузначные числа из цифр 8 и 9:

   а) если цифры разные: $$89,\ 98$$;

   б) если цифры могут повторяться: $$88,\ 89,\ 98,\ 99$$.

2. Все трёхзначные числа из цифр 8 и 9:

   $$888,\ 889,\ 898,\ 899,\ 988,\ 989,\ 998,\ 999$$.

3. Возможные способы рассадки девочек А, Б и В по местам 1, 2 и 3:

   $$АБВ,\ АВБ,\ БАВ,\ БВА,\ ВАБ,\ ВБА$$.

4. Двузначные числа из цифр 0, 1 и 5:

   а) если цифры разные: $$10,\ 15,\ 50,\ 51$$;

   б) если цифры могут повторяться: $$10,\ 11,\ 15,\ 50,\ 51,\ 55$$.

5. Четырёхзначные числа из цифр 0, 1 и 5:

   На первом месте может быть только $$1$$ или $$5$$ — $$2$$ варианта.

   На каждом из остальных трёх мест — по $$3$$ варианта.

   Тогда всего:

   $$2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 54$$.

6. Если каждый из $$n$$ друзей пожал руку каждому другому, то число рукопожатий равно:

   $$\frac{n(n-1)}{2}=15$$.

   Тогда:

   $$n(n-1)=30$$

   $$n^2-n-30=0$$

   $$n=6$$.

7. Пятизначные числа из цифр 0, 1, 2, 3, 4:

   На первом месте может быть $$1,\ 2,\ 3$$ или $$4$$ — $$4$$ варианта.

   На каждом из остальных четырёх мест — по $$5$$ вариантов.

   Итого:

   $$4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2500$$.

8. Число рёбер полного графа с $$25$$ вершинами:

   $$N=\frac{n(n-1)}{2}$$

   $$N=\frac{25\cdot 24}{2}=300$$.

9. После первого разрезания получаем $$3$$ части.

   Затем одну часть разрезают пополам: $$3-1+2=4$$ части.

   Вторую часть разрезают на $$3$$ части: $$4-1+3=6$$ частей.

   Третью часть разрезают на $$4$$ части: $$6-1+4=9$$ частей.

10. Две книги одного автора должны стоять рядом, значит рассматриваем их как один блок.

    Тогда вместе с остальными четырьмя книгами получаем $$5$$ объектов, которые можно расставить $$5!$$ способами.

    Внутри блока две книги можно переставить $$2!$$ способами.

    Итого:

    $$5! \cdot 2! = 120$$.

Ответ

1) а) $$89,\ 98$$; б) $$88,\ 89,\ 98,\ 99$$.

2) $$888,\ 889,\ 898,\ 899,\ 988,\ 989,\ 998,\ 999$$.

3) $$АБВ,\ АВБ,\ БАВ,\ БВА,\ ВАБ,\ ВБА$$.

4) а) $$10,\ 15,\ 50,\ 51$$; б) $$10,\ 11,\ 15,\ 50,\ 51,\ 55$$.

5) $$54$$.

6) $$6$$ друзей.

7) $$2500$$.

8) $$300$$ рёбер.

9) $$9$$ кусков бумаги.

10) $$120$$ способов.