Проверь себя Глава 7 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 7 класс, Просвещение:

1. $$\begin{cases} 2x-3y=1 \\ 5x+y=11 \end{cases}$$
   Подставим $$x=2$$ и $$y=1$$:
   $$2\cdot 2-3\cdot 1=1,$$
   $$5\cdot 2+1=11.$$
   Равенства верны, значит, пара $$x=2,\ y=1$$ — решение системы.

2. а) $$\begin{cases} x+y=2 \\ 3x+4y=5 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x=2-y.$$
   Подставим во второе:
   $$3(2-y)+4y=5,$$
   $$6-3y+4y=5,$$
   $$y=-1.$$
   Тогда
   $$x=2-(-1)=3.$$

   б) $$\begin{cases} 3x+4y=-1 \\ 2x-5y=7 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$5$$, второе — на $$4$$:
   $$\begin{cases} 15x+20y=-5 \\ 8x-20y=28 \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$23x=23,$$
   $$x=1.$$
   Подставим во второе исходное уравнение:
   $$2\cdot 1-5y=7,$$
   $$-5y=5,$$
   $$y=-1.$$

3. Пусть в одном ящике $$x$$ кг яблок, а в другом $$y$$ кг груш. Тогда:
   $$\begin{cases} 5x+3y=70 \\ 2x+y=26 \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$3$$:
   $$6x+3y=78.$$
   Вычтем первое уравнение из полученного:
   $$x=8.$$
   Подставим:
   $$2\cdot 8+y=26,$$
   $$y=10.$$

4. $$\begin{cases} y=ax \\ y=-3x+2 \end{cases}$$
   Если $$a=-3$$, то прямые имеют вид
   $$y=-3x$$ и $$y=-3x+2,$$
   значит, они параллельны и решений нет.
   Если $$a\ne -3$$, то прямые пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение.

5. $$\begin{cases} \dfrac{2x+4}{10}=1-\dfrac{9(y-3)}{20} \\ \dfrac{3y-4}{4}=\dfrac{9-x}{3}-\dfrac{3}{4} \end{cases}$$
   Преобразуем:
   $$\begin{cases} 2(2x+4)=20-9(y-3) \\ 3(3y-4)=4(9-x)-9 \end{cases}$$
   Получаем:
   $$\begin{cases} 4x+8=20-9y+27 \\ 9y-12=36-4x-9 \end{cases}$$
   То есть
   $$\begin{cases} 4x+9y=39 \\ 4x+9y=39 \end{cases}$$
   Прямые совпадают, значит, система имеет бесконечно много решений:
   $$x=\dfrac{39-9y}{4}, \quad y=\dfrac{39-4x}{9}.$$

6. Пусть $$x$$ — число десятков, $$y$$ — число единиц. Тогда
   $$x+y=10.$$
   Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно $$10y+x$$, и оно на $$36$$ больше исходного:
   $$10y+x-(10x+y)=36.$$
   Получаем систему:
   $$\begin{cases} x+y=10 \\ 9y-9x=36 \end{cases}$$
   $$\begin{cases} x+y=10 \\ y-x=4 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$2y=14,$$
   $$y=7,$$
   $$x=3.$$
   Значит, число равно $$37$$.

7. $$\begin{cases} ax+3y=a \\ (a-2)x+y=1 \end{cases}$$
   Чтобы система имела единственное решение, определитель должен быть отличен от нуля:
   $$a\ne 3(a-2).$$
   Тогда
   $$a\ne 3a-6,$$
   $$-2a\ne -6,$$
   $$a\ne 3.$$

8. Прямая $$y=ax+b$$ проходит через точки $$ (0;-6) $$ и $$ (3;0) $$.
   Подставим координаты:
   $$\begin{cases} -6=b \\ 0=3a+b \end{cases}$$
   Тогда
   $$b=-6,$$
   $$3a-6=0,$$
   $$a=2.$$
   Значит,
   $$y=2x-6.$$
   Чтобы система не имела решений, прямая $$ax+3y=4$$ должна быть параллельна этой прямой:
   $$y=-\dfrac{a}{3}x+\dfrac{4}{3}.$$
   Угловые коэффициенты должны совпадать:
   $$-\dfrac{a}{3}=2,$$
   $$a=-6.$$

9. Пусть в первом городе продали $$x$$ товара, а во втором — $$y$$ товара. Тогда:
   $$1{,}2x+1{,}5y=1{,}3(x+y).$$
   Преобразуем:
   $$1{,}2x+1{,}5y=1{,}3x+1{,}3y,$$
   $$1{,}5y-1{,}3y=1{,}3x-1{,}2x,$$
   $$0{,}2y=0{,}1x,$$
   $$2y=x.$$
   Значит, в первом городе продали в $$2$$ раза больше товара, чем во втором.

Ответ

1) $$x=2,\ y=1$$; 2а) $$\left(3;\,-1\right)$$; 2б) $$\left(1;\,-1\right)$$; 3) $$8$$ кг яблок и $$10$$ кг груш; 4) при $$a=-3$$ решений нет, при $$a\ne -3$$ — единственное решение; 5) бесконечно много решений; 6) $$37$$; 7) при $$a\ne 3$$; 8) $$y=2x-6$$, при $$a=-6$$ система не имеет решений; 9) в первом городе продали в $$2$$ раза больше.