Проверь себя Глава 5 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Найдём допустимые значения букв в дробях:

   $$\frac{a}{b}$$ — $$b \ne 0$$;
   $$\frac{3}{a-1}$$ — $$a-1 \ne 0,\ a \ne 1$$;
   $$\frac{a}{b+2}$$ — $$b+2 \ne 0,\ b \ne -2$$.

2. Выполним действия:

   а)
   $$4a+\frac{1-4a^2}{a} =\frac{4a^2+1-4a^2}{a} =\frac{1}{a}$$

   б)
   $$\frac{a+b}{a-b}-\frac{a-b}{a+b} =\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} =\frac{4ab}{a^2-b^2}$$

   в)
   $$\frac{2a-4}{3b}\cdot\frac{6b}{a-2} =\frac{2(a-2)}{3b}\cdot\frac{6b}{a-2} =4$$

   г)
   $$\frac{a^2-b^2}{b^2}:\frac{a+b}{b} =\frac{(a-b)(a+b)}{b^2}\cdot\frac{b}{a+b} =\frac{a-b}{b}$$

3. Упростим выражение и найдём его значение при $$x=2\frac{2}{3}$$:

   $$\frac{1+2x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{5}\cdot\frac{10}{x^2-9} =\frac{1+2x}{x-3}-\frac{x(x+3)}{5}\cdot\frac{10}{(x-3)(x+3)}$$
   $$=\frac{1+2x}{x-3}-\frac{2x}{x-3} =\frac{1}{x-3}$$

   При $$x=2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$$:
   $$\frac{1}{x-3}=\frac{1}{\frac{8}{3}-3}=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3$$

4. Найдём допустимые значения букв:

   $$\frac{a-4}{a+4}$$ — $$a+4 \ne 0,\ a \ne -4$$;
   $$\frac{2b}{b^2+1}$$ — $$b^2+1 \ne 0$$ при любых действительных $$b$$;
   $$\frac{7}{c(c-2)}$$ — $$c(c-2)\ne 0,\ c\ne 0,\ c\ne 2$$.

5. Сократим дробь и найдём её значение при $$x=\frac{2}{3},\ y=0{,}75$$:

   $$\frac{9x^2-4y^2}{20y^2-60xy+45x^2} =\frac{(3x-2y)(3x+2y)}{5(3x-2y)^2} =\frac{3x+2y}{5(3x-2y)}$$

   Подставим значения:
   $$\frac{3\cdot\frac{2}{3}+2\cdot0{,}75}{5\left(3\cdot\frac{2}{3}-2\cdot0{,}75\right)} =\frac{2+1{,}5}{5(2-1{,}5)} =\frac{3{,}5}{2{,}5} =\frac{7}{5} =1{,}4$$

6. Докажем тождество:

   $$\frac{2-a}{a+2}+\frac{2a}{2-a}+\frac{4a^2}{a^2-4}=1$$

   Приведём к общему знаменателю $$a^2-4=(a-2)(a+2)$$:
   $$\frac{2-a}{a+2}-\frac{2a}{a-2}+\frac{4a^2}{(a-2)(a+2)} =\frac{(2-a)(a-2)-2a(a+2)+4a^2}{a^2-4}$$
   $$=\frac{a^2-4}{a^2-4}=1$$

7. Упростим выражение:

   $$\left(x+3+\frac{18}{x-3}\right)\cdot\frac{2x^2-12x+18}{x^2+9}$$
   $$=\frac{(x+3)(x-3)+18}{x-3}\cdot\frac{2(x^2-6x+9)}{x^2+9} =\frac{x^2+9}{x-3}\cdot\frac{2(x-3)^2}{x^2+9} =2(x-3)$$

8. Решим уравнение:

   $$\frac{(x-3)^2}{12}-\frac{2x^2+5}{4}+\frac{1{,}25x^2-1}{3}=\frac{2}{3}$$
   $$\left|\cdot 12$$
   $$(x-3)^2-3(2x^2+5)+4(1{,}25x^2-1)=8$$
   $$x^2-6x+9-6x^2-15+5x^2-4=8$$
   $$-6x-10=8$$
   $$-6x=18,\quad x=-3$$

9. Найдём допустимые значения букв:

   а)
   $$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$$ — $$a^2+b^2\ne 0$$, то есть одновременно $$a\ne 0$$ и $$b\ne 0$$;

   б)
   $$\frac{1-b}{|b|}$$ — $$|b|\ne 0,\ b\ne 0$$;

   в)
   $$\frac{9}{a^2-9}$$ — $$a^2-9\ne 0,\ a\ne \pm 3$$.

10. Сократим дроби:

    а)
    $$\frac{5a}{|a|}= \begin{cases} 5, & a>0,\\ -5, & a<0 \end{cases}$$

    б)
    $$\frac{2|a-1|}{a-1}= \begin{cases} 2, & a>1,\\ -2, & a<1 \end{cases}$$

11. Преобразуем выражение:

    $$\frac{x-3}{x^2-10x+25}-\frac{3-4x}{10x-25-x^2}+\frac{4x-5}{(5-x)^2}$$
    $$=\frac{x-3}{(x-5)^2}-\frac{3-4x}{-(x-5)^2}+\frac{4x-5}{(x-5)^2}$$
    $$=\frac{x-3+3-4x+4x-5}{(x-5)^2} =\frac{x-5}{(x-5)^2} =\frac{1}{x-5}$$

    При допустимых значениях $$x\ne 5$$ это выражение не может быть равно $$0$$.

12. Упростим выражение:

    $$\frac{3m^3n}{m^3n+n^3n}\cdot\frac{m^n+n^n}{m^n}-\frac{3m^2n}{m^2n-m^nn^n+n^2n}$$

    После сокращения получаем:
    $$0$$

13. Решим уравнение:

    $$\frac{(x+a)^2}{2}-\frac{(x-a)^2}{4}+\frac{x}{2}=\frac{a^2+x^2+3}{4}$$
    $$\left|\cdot 4$$
    $$2(x+a)^2-(x-a)^2+2x=a^2+x^2+3$$
    $$2(x^2+2ax+a^2)-(x^2-2ax+a^2)+2x=a^2+x^2+3$$
    $$6ax+2x=3$$
    $$2x(3a+1)=3$$
    $$x=\frac{3}{2(3a+1)}$$
    При $$a\ne -\frac{1}{3}$$.

Ответ

1) $$b\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne -2$$;
2) а) $$\frac{1}{a}$$; б) $$\frac{4ab}{a^2-b^2}$$; в) $$4$$; г) $$\frac{a-b}{b}$$;
3) $$\frac{1}{x-3}$$, при $$x=\frac{8}{3}$$ значение равно $$-3$$;
4) $$a\ne -4,\ b$$ — любое число, $$c\ne 0,\ c\ne 2$$;
5) $$\frac{7}{5}=1{,}4$$;
6) $$1$$;
7) $$2(x-3)$$;
8) $$x=-3$$;
9) а) $$a\ne 0,\ b\ne 0$$; б) $$b\ne 0$$; в) $$a\ne \pm 3$$;
10) а) $$5$$ при $$a>0$$, $$-5$$ при $$a<0$$; б) $$2$$ при $$a>1$$, $$-2$$ при $$a<1$$;
11) $$\frac{1}{x-5}\ne 0$$;
12) $$0$$;
13) $$x=\frac{3}{2(3a+1)}$$, $$a\ne -\frac{1}{3}$$.