Проверь себя Глава 3 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

5^3•5^2; 3^8 :3^6; (2^3 )^4; 3^5•2^5.
2. Упростить выражение (3b+c^2-d)-(c^2-2d).
3. Выполнить действия:
а) (-0,25a^3 b^2 c)•(5abc); б) (7m^2-20mn-10m) :10m.
4. Упростить выражение 2m(m-1)+(m-2)(m+2)+2m и найти его числовое значение при m=-0,25.
5. Вычислить: (3^4•5^6•4^4)/(8^2•?15?^4 ).
6. Найти сумму и разность многочленов 4a^3 b-2ab^3+3a и 2a^3 b+2ab^3-a.
7. Доказать, что произведение многочленов a^2+2ab+4b^2 и a-2b равно частному от деления многочлена 5a^4 b-40ab^4 на одночлен 5ab.
8. Решить уравнение: x^2 (x+1)-(x+2)(2x-3)=x^2 (x-1).
9. Вычислить: (8•5^17+11•5^18)/((5^9•3)^2•7).
10. Упростить выражение: а) B-A; б)-A-B; в) A•(-B), если A=a^2-3a+2, B=2a^2+3a-1.
11. В трехзначном числе в 3 раза больше десятков, чем сотен, а число единиц равно квадрату числа сотен. Если разность этого числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, разделить на число сотен исходного числа, то получится число -198. Найти исходное число.
12. Доказать, что сумма пяти последовательных четных чисел делится на 10.

1. Представим выражения в виде степени:

   $$5^3 \cdot 5^2 = 5^5$$
   
   $$3^8 : 3^6 = 3^2$$
   
   $$(2^3)^4 = 2^{12}$$
   
   $$3^5 \cdot 2^5 = (3 \cdot 2)^5 = 6^5$$

2. Упростим выражение:

   $$(3b+c^2-d)-(c^2-2d)=3b+c^2-d-c^2+2d=3b+d$$

3. Выполним действия:

   а)
   $$(-0{,}25a^3b^2c)\cdot(5abc)=-1{,}25a^4b^3c^2$$
   
   б)
   $$(7m^2-20mn-10m):10m=0{,}7m-2n-1$$

4. Упростим выражение и найдём его значение при $$m=-0{,}25$$:

   $$2m(m-1)+(m-2)(m+2)+2m$$
   $$=2m^2-2m+m^2-4+2m+2m-2m$$
   $$=3m^2-4$$

   При $$m=-0{,}25$$:
   $$3\cdot(-0{,}25)^2-4=3\cdot0{,}0625-4=0{,}1875-4=-3{,}8125$$

5. Вычислим:

   $$\frac{3^4\cdot5^6\cdot4^4}{8^2\cdot15^4} =\frac{3^4\cdot5^6\cdot(2^2)^4}{(2^3)^2\cdot(3\cdot5)^4} =\frac{3^4\cdot5^6\cdot2^8}{2^6\cdot3^4\cdot5^4} =2^2\cdot5^2=100$$

6. Найдём сумму и разность многочленов $$4a^3b-2ab^3+3a$$ и $$2a^3b+2ab^3-a$$:

   Сумма:
   $$\left(4a^3b-2ab^3+3a\right)+\left(2a^3b+2ab^3-a\right)=6a^3b+2a$$
   
   Разность:
   $$\left(4a^3b-2ab^3+3a\right)-\left(2a^3b+2ab^3-a\right)=2a^3b-4ab^3+4a$$

7. Докажем равенство:

   $$(a^2+2ab+4b^2)(a-2b)=a^3-8b^3$$

   Также:
   $$\left(5a^4b-40ab^4\right):5ab=a^3-8b^3$$

   Следовательно,
   $$(a^2+2ab+4b^2)(a-2b)=\left(5a^4b-40ab^4\right):5ab$$

8. Решим уравнение:

   $$x^2(x+1)-(x+2)(2x-3)=x^2(x-1)$$
   $$x^3+x^2-(2x^2+x-6)=x^3-x^2$$
   $$x^3+x^2-2x^2-x+6=x^3-x^2$$
   $$-x+6=0$$
   $$x=6$$

9. Вычислим:

   $$\frac{8\cdot5^{17}+11\cdot5^{18}}{(5^9\cdot3)^2\cdot7} =\frac{5^{17}(8+11\cdot5)}{5^{18}\cdot3^2\cdot7} =\frac{5^{17}\cdot63}{5^{18}\cdot63} =\frac{1}{5}$$

10. Пусть

    $$A=a^2-3a+2,\qquad B=2a^2+3a-1$$

    а)
    $$B-A=2a^2+3a-1-(a^2-3a+2)=a^2+6a-3$$
    
    б)
    $$-A-B=-(a^2-3a+2)-(2a^2+3a-1)=-3a^2-1$$
    
    в)
    $$A\cdot(-B)=(a^2-3a+2)(-2a^2-3a+1)=-2a^4+3a^3+6a^2-9a+2$$

11. Пусть в трёхзначном числе сотен $$x$$, тогда десятков $$3x$$, единиц $$x^2$$. Получаем число:

    $$100x+30x+x^2=130x+x^2$$

    Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке:
    $$100x^2+30x+x$$

    По условию:
    $$\frac{(130x+x^2)-(100x^2+30x+x)}{x}=-198$$
    $$130x+x^2-100x^2-31x=-198x$$
    $$-99x^2+99x+198x=0$$
    $$-99x^2+297x=0$$
    $$99x(x-3)=0$$
    $$x=3$$

    Тогда число:
    $$399$$

12. Пять последовательных чётных чисел можно записать так:

    $$2n,\ 2n+2,\ 2n+4,\ 2n+6,\ 2n+8$$

    Их сумма равна:
    $$2n+(2n+2)+(2n+4)+(2n+6)+(2n+8)=10n+20=10(n+2)$$

    Значит, сумма делится на $$10$$.

Ответ

1) $$5^5,\ 3^2,\ 2^{12},\ 6^5$$;
2) $$3b+d$$;
3) а) $$-1{,}25a^4b^3c^2$$, б) $$0{,}7m-2n-1$$;
4) $$3m^2-4$$, при $$m=-0{,}25$$: $$-3{,}8125$$;
5) $$100$$;
6) сумма $$6a^3b+2a$$, разность $$2a^3b-4ab^3+4a$$;
7) доказано;
8) $$x=6$$;
9) $$\frac{1}{5}$$;
10) а) $$a^2+6a-3$$, б) $$-3a^2-1$$, в) $$-2a^4+3a^3+6a^2-9a+2$$;
11) $$399$$;
12) сумма делится на $$10$$.